Considere uma partícula de massa
, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma
, onde
é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
onde
A partir desta solução geral, determine:
Quais são os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula?
Quais são os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m $ que está se movendo num retas sob a influência de um potencial oscilatório $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $. Esse é o famoso Oscilador Harmônico Quântico. A gente vai usar as funções de onda fornecidas para descobrir onde é mais provável encontrar a partícula, ou seja, os pontos de máxima probabilidade. Para isso, precisamos entender como calcular a probabilidade a partir das funções de onda e encontrar onde essa probabilidade é máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto $ x $ é dada pelo quadrado do módulo da função de onda, $ |\psi_n(x)|^2 $. Então, nossa tarefa é calcular $ |\psi_n(x)|^2 $ e depois descobrir para quais valores de $ x $ essa expressão atinge seu valor máximo.
Passo 3
Vamos escrever a expressão para $ |\psi_n(x)|^2 $. Dada a função de onda:
O módulo ao quadrado disso fica:
Mas para simplificar, sabemos que as funções de onda dos osciladores harmônicos envolvem os polinômios de Hermite $ H_n(\xi) $, onde $ \xi = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x $. Assim, podemos reescrever $ |\psi_n(x)|^2 $ como:
Passo 4
Para encontrar os pontos de máxima probabilidade, precisamos determinar onde $ |\psi_n(x)|^2 $ atinge seu pico. Isso envolve encontrar os valores de $ x $ onde a derivada de $ |\psi_n(x)|^2 $ em relação a $ x $ é zero.
Então, vamos derivar $ |\psi_n(x)|^2 $ em relação a $ x $ e igualar a zero:
Aplicando a regra da cadeia e propriedades dos polinômios de Hermite, sabemos que os pontos de máxima correspondem às raízes dos derivativos dos polinômios de Hermite multiplicados pelo termo exponencial. Isso significa que as máximas de $ |\psi_n(x)|^2 $ ocorrem onde:
Passo 5
Os polinômios de Hermite $ H_n(\xi) $ têm exatamente $ n $ raízes reais e distintas. Portanto, $ H_n’(\xi) $ terá $ n-1 $ raízes, correspondendo aos pontos de máximo e mínimo de $ H_n(\xi) $. No entanto, como estamos lidando com $ |\psi_n(x)|^2 $, que envolve $ H_n^2(\xi) $, as máximas de probabilidade ocorrem onde $ H_n(\xi) $ tem seus máximos, o que acontece nos pontos onde $ H_n’(\xi) = 0 $.
Portanto, os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula são os valores de $ x $ para os quais $ H_n’(\xi) = 0 $, com $ \xi = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x $.
Resposta
Os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula estão nos valores de $ x $ que satisfazem $ H_n’(\xi) = 0 $, onde $ \xi = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x $. Isso significa que as máximas ocorrem nos pontos onde a derivada dos polinômios de Hermite é zero.