Considere uma partícula de massa m, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma V(x)=12 m omega^2 x^2, onde omega é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
psin(x)=[12^n n!(hbarm omega)^n]^1 / 2(m omegapi hbar)^1 / 4[m omegahbar x-dd x]^n e^-m omega2 hbar x^2
onde n=0,1,2,3 ldots A partir desta solução geral, determine:
Quais são os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m $ que está se movendo num retas sob a influência de um potencial oscilatório $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $. Esse é o famoso Oscilador Harmônico Quântico. A gente vai usar as funções de onda fornecidas para descobrir onde é mais provável encontrar a partícula, ou seja, os pontos de máxima probabilidade. Para isso, precisamos entender como calcular a probabilidade a partir das funções de onda e encontrar onde essa probabilidade é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto $ x $ é dada pelo quadrado do módulo da função de onda, $ |\psi_n(x)|^2 $. Então, nossa tarefa é calcular $ |\psi_n(x)|^2 $ e depois descobrir para quais valores de $ x $ essa expressão atinge seu valor máximo.

Passo 3

Vamos escrever a expressão para $ |\psi_n(x)|^2 $. Dada a função de onda:
|psin(x)|^2
O módulo ao quadrado disso fica:
psin(x) = [12^n n!(hbarm omega)^n]^1 / 2 (m omegapi hbar)^1 / 4 [m omegahbar x - ddx]^n e^-m omega2 hbar x^2
Mas para simplificar, sabemos que as funções de onda dos osciladores harmônicos envolvem os polinômios de Hermite $ H_n(\xi) $, onde $ \xi = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x $. Assim, podemos reescrever $ |\psi_n(x)|^2 $ como:
|psin(x)|^2 = psin(x) cdot psin^*(x)

Passo 4

Para encontrar os pontos de máxima probabilidade, precisamos determinar onde $ |\psi_n(x)|^2 $ atinge seu pico. Isso envolve encontrar os valores de $ x $ onde a derivada de $ |\psi_n(x)|^2 $ em relação a $ x $ é zero.
Então, vamos derivar $ |\psi_n(x)|^2 $ em relação a $ x $ e igualar a zero:
|psin(x)|^2
Aplicando a regra da cadeia e propriedades dos polinômios de Hermite, sabemos que os pontos de máxima correspondem às raízes dos derivativos dos polinômios de Hermite multiplicados pelo termo exponencial. Isso significa que as máximas de $ |\psi_n(x)|^2 $ ocorrem onde:
x

Passo 5

Os polinômios de Hermite $ H_n(\xi) $ têm exatamente $ n $ raízes reais e distintas. Portanto, $ H_n’(\xi) $ terá $ n-1 $ raízes, correspondendo aos pontos de máximo e mínimo de $ H_n(\xi) $. No entanto, como estamos lidando com $ |\psi_n(x)|^2 $, que envolve $ H_n^2(\xi) $, as máximas de probabilidade ocorrem onde $ H_n(\xi) $ tem seus máximos, o que acontece nos pontos onde $ H_n’(\xi) = 0 $.
Portanto, os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula são os valores de $ x $ para os quais $ H_n’(\xi) = 0 $, com $ \xi = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x $.

Resposta

Os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula estão nos valores de $ x $ que satisfazem $ H_n’(\xi) = 0 $, onde $ \xi = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x $. Isso significa que as máximas ocorrem nos pontos onde a derivada dos polinômios de Hermite é zero.

Exercícios relacionados