Considere uma partícula de massa m, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma V(x)=12 m omega^2 x^2, onde omega é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
psin(x)=[12^n n!(hbarm omega)^n]^1 / 2(m omegapi hbar)^1 / 4[m omegahbar x-dd x]^n e^-m omega2 hbar x^2
onde n=0,1,2,3 ldots A partir desta solução geral, determine:
Calcule as incertezas sigmax e sigmap e o seu produto. O estado dado por psi1(x) é um estado de mínima incerteza? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ que está se movendo em uma dimensão e está sujeita a um potencial $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} m éôâãçãçã \sigma_{x} V(x) = 12 m omega^2 x^2 \sigma_{p} $), além do produto dessas incertezas. Por fim, precisamos verificar se o estado $ \psi_{1}(x) $ é um estado de mínima incerteza.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de Mecânica Quântica, como operadores de posição e momento, valores esperados (ou expectativas) e incertezas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as incertezas $ \sigma_{x} $ e $ \sigma_{p} $. Na Mecânica Quântica, a incerteza em uma grandeza física, como posição ou momento, é dada pela raiz quadrada da variância dessa grandeza. Matemáticamente:
sigmax
sigmap
Aqui, $ \langle x \rangle $ e $ \langle p \rangle $ são os valores esperados (ou médios) da posição e do momento, respectivamente, e $ \langle x^{2} \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $ são os valores esperados de $ x^{2} $ e $ p^{2} $.

Passo 3

Vamos calcular $ \langle x \rangle $ e $ \langle p \rangle $ para o estado $ \psi_{1}(x) $.
Sabemos que, para os estados próprios do Oscilador Harmônico Quântico, os valores esperados de posição e momento são zero devido à simetria do problema. Então:
lang<= x rang<=
lang<= p rang<=
Isso simplifica nossas incertezas:
psi1(x)
lang<= x rang<= = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \langle x^{2} \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $.
Para o Oscilador Harmônico Quântico, os valores esperados de $ x^{2} $ e $ p^{2} $ para o estado $ n $ são dados por:
lang<= x^2 rang<=
lang<= p^2 rang<=
Onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ \omega $ é a frequência angular, e $ n $ é o número quântico do estado.
No nosso caso, $ n = 1 $:
x^2
p^2

Passo 5

Com esses valores, podemos calcular as incertezas $ \sigma_{x} $ e $ \sigma_{p} $:
sigmax
sigmap

Passo 6

Agora, calculamos o produto das incertezas:
sigmax sigmap = raiz3 hbar2 m omega times raiz3 hbar m omega2 = 3 hbar2

Passo 7

Por fim, precisamos verificar se o estado $ \psi_{1}(x) $ é um estado de mínima incerteza.
A Desigualdade de Heisenberg nos diz que:
psi1(x)
Um estado de mínima incerteza satisfaz a igualdade:
sigmax sigmap >= hbar2
No nosso caso, encontramos que:
sigmax sigmap = hbar2
Isso significa que o estado $ \psi_{1}(x) $ não é um estado de mínima incerteza, pois o produto das incertezas é maior que o mínimo permitido pela desigualdade de Heisenberg.

Resposta

As incertezas são $ \sigma_{x} = \sqrt{\frac{3 \hbar}{2 m \omega}} $ e $ \sigma_{p} = \sqrt{\frac{3 \hbar m \omega}{2}} $. O produto das incertezas é $ \sigma_{x} \sigma_{p} = \frac{3 \hbar}{2} $. Portanto, o estado $ \psi_{1}(x) $ não é um estado de mínima incerteza.

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