Considere uma partícula de massa
, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma
, onde
é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
onde
A partir desta solução geral, determine:
Calcule as incertezas
e
e o seu produto. O estado dado por
é um estado de mínima incerteza? Justifique.
Calcule as incertezas
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ que está se movendo em uma dimensão e está sujeita a um potencial $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}
\sigma_{x}
\sigma_{p} $), além do produto dessas incertezas. Por fim, precisamos verificar se o estado $ \psi_{1}(x) $ é um estado de mínima incerteza.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de Mecânica Quântica, como operadores de posição e momento, valores esperados (ou expectativas) e incertezas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as incertezas $ \sigma_{x} $ e $ \sigma_{p} $. Na Mecânica Quântica, a incerteza em uma grandeza física, como posição ou momento, é dada pela raiz quadrada da variância dessa grandeza. Matemáticamente:
Aqui, $ \langle x \rangle $ e $ \langle p \rangle $ são os valores esperados (ou médios) da posição e do momento, respectivamente, e $ \langle x^{2} \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $ são os valores esperados de $ x^{2} $ e $ p^{2} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \langle x \rangle $ e $ \langle p \rangle $ para o estado $ \psi_{1}(x) $.
Sabemos que, para os estados próprios do Oscilador Harmônico Quântico, os valores esperados de posição e momento são zero devido à simetria do problema. Então:
Isso simplifica nossas incertezas:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \langle x^{2} \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $.
Para o Oscilador Harmônico Quântico, os valores esperados de $ x^{2} $ e $ p^{2} $ para o estado $ n $ são dados por:
Onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ \omega $ é a frequência angular, e $ n $ é o número quântico do estado.
No nosso caso, $ n = 1 $:
Passo 5
Com esses valores, podemos calcular as incertezas $ \sigma_{x} $ e $ \sigma_{p} $:
Passo 6
Agora, calculamos o produto das incertezas:
Passo 7
Por fim, precisamos verificar se o estado $ \psi_{1}(x) $ é um estado de mínima incerteza.
A Desigualdade de Heisenberg nos diz que:
Um estado de mínima incerteza satisfaz a igualdade:
No nosso caso, encontramos que:
Isso significa que o estado $ \psi_{1}(x) $ não é um estado de mínima incerteza, pois o produto das incertezas é maior que o mínimo permitido pela desigualdade de Heisenberg.
Resposta
As incertezas são $ \sigma_{x} = \sqrt{\frac{3 \hbar}{2 m \omega}} $ e $ \sigma_{p} = \sqrt{\frac{3 \hbar m \omega}{2}} $. O produto das incertezas é $ \sigma_{x} \sigma_{p} = \frac{3 \hbar}{2} $. Portanto, o estado $ \psi_{1}(x) $ não é um estado de mínima incerteza.