Considere uma partícula de massa
, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma
, onde
é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
onde
A partir desta solução geral, determine:
A função para o primeiro estado excitado
.
A função para o primeiro estado excitado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa $ m $ que está se movendo em uma dimensão e é influenciada por um potencial específico, que é tipicamente usado para descrever um Oscilador Harmônico Quântico. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função de onda para o primeiro estado excitado, ou seja, $ \psi_1(x) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda no contexto do oscilador harmônico quântico e como aplicar a fórmula geral fornecida para encontrar o caso específico de $ n = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na fórmula geral que nos foi dada para as funções de onda:
Aqui, $ n $ representa o nível de energia, e queremos encontrar $ \psi_1(x) $, ou seja, quando $ n = 1 $.
Passo 3
Vamos substituir $ n = 1 $ na fórmula:
Simplificando um pouco, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar os coeficientes na frente da expressão. Primeiro, olhemos para $ \left[\frac{1}{2} \cdot \frac{\hbar}{m \omega}\right]^{1 / 2} $:
E para $ \left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1 / 4} $:
Juntando tudo, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o operador $ \left(\frac{m \omega}{\hbar} x - \frac{d}{d x}\right) $ à função exponencial $ e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}} $.
Primeiro, calculemos a derivada:
Então, aplicando o operador:
Passo 6
Substituindo essa expressão de volta na fórmula de $ \psi_{1}(x) $:
Vamos simplificar os coeficientes:
Portanto, a expressão fica:
Passo 7
Vamos agora juntar os termos com os coeficientes simplificados:
Isso porque:
Resposta
A função de onda para o primeiro estado excitado é: