Considere uma partícula de massa m, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma V(x)=12 m omega^2 x^2, onde omega é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
psin(x)=[12^n n!(hbarm omega)^n]^1 / 2(m omegapi hbar)^1 / 4[m omegahbar x-dd x]^n e^-m omega2 hbar x^2
onde n=0,1,2,3 ldots A partir desta solução geral, determine:
A função para o primeiro estado excitado psi1(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa $ m $ que está se movendo em uma dimensão e é influenciada por um potencial específico, que é tipicamente usado para descrever um Oscilador Harmônico Quântico. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função de onda para o primeiro estado excitado, ou seja, $ \psi_1(x) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda no contexto do oscilador harmônico quântico e como aplicar a fórmula geral fornecida para encontrar o caso específico de $ n = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na fórmula geral que nos foi dada para as funções de onda:
psin(x) = [12^n n!(hbarm omega)^n]^1 / 2 (m omegapi hbar)^1 / 4 [m omegahbar x - dd x]^n e^-m omega2 hbar x^2
Aqui, $ n $ representa o nível de energia, e queremos encontrar $ \psi_1(x) $, ou seja, quando $ n = 1 $.

Passo 3

Vamos substituir $ n = 1 $ na fórmula:
n = 1
Simplificando um pouco, temos:
psi1(x) = [12^1 cdot 1!(hbarm omega)^1]^1 / 2 (m omegapi hbar)^1 / 4 [m omegahbar x - dd x]^1 e^-m omega2 hbar x^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar os coeficientes na frente da expressão. Primeiro, olhemos para $ \left[\frac{1}{2} \cdot \frac{\hbar}{m \omega}\right]^{1 / 2} $:
[12 cdot hbarm omega]^1 / 2
E para $ \left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1 / 4} $:
[hbar2 m omega]^1/2 = raizhbar2 m omega
Juntando tudo, temos:
(m omegapi hbar)^1 / 4

Passo 5

Agora, vamos aplicar o operador $ \left(\frac{m \omega}{\hbar} x - \frac{d}{d x}\right) $ à função exponencial $ e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}} $.
Primeiro, calculemos a derivada:
(m omegahbar x - dd x)
Então, aplicando o operador:
e^-m omega2 hbar x^2

Passo 6

Substituindo essa expressão de volta na fórmula de $ \psi_{1}(x) $:
psi1(x)
Vamos simplificar os coeficientes:
psi1(x) = raizhbar2 m omega (m omegapi hbar)^1/4 cdot 2 m omegahbar x e^-m omega2 hbar x^2
Portanto, a expressão fica:
raizhbar2 m omega cdot 2 m omegahbar = 2 cdot raizhbar2 m omega cdot m omegahbar = 2 cdot m omegahbar cdot raizhbar2 m omega = 2 cdot raizm omega2 hbar

Passo 7

Vamos agora juntar os termos com os coeficientes simplificados:
psi1(x) = raiz2 cdot (m omegapi hbar)^1/4 cdot x e^-m omega2 hbar x^2
Isso porque:
2 cdot raizm omega2 hbar = raiz2 cdot raizm omegahbar

Resposta

A função de onda para o primeiro estado excitado é:
psi1(x) = raiz2 (m omegapi hbar)^1/4 x , e^-m omega2 hbar x^2

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