Considere uma partícula de massa
, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma
, onde
é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
onde
A partir desta solução geral, determine:
A energia
associada a função
por substituição direta na equação de Schrodinger.
A energia
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a energia $ E_{1} $ associada à função de onda $ \psi_{1}(x) $ de um Oscilador Harmônico Quântico, usando diretamente a equação de Schrödinger. Estamos lidando com o conceito de mecânica quântica, especificamente com o Oscilador Harmônico, que é um dos sistemas mais estudados nessa área. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger e como aplicá-la às funções de onda dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ V(x) $ é o potencial, $ \psi(x) $ é a função de onda, e $ E $ é a energia total da partícula.
Passo 3
No nosso caso, o potencial $ V(x) $ é dado por:
Isso caracteriza um Oscilador Harmônico, onde $ \omega $ é a frequência angular da oscilação. A função de onda fornecida é para o caso $ n = 1 $:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos.
Passo 4
Simplificando a expressão de $ \psi_{1}(x) $:
Calculando os termos constantes:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o operador $ \left( \frac{m \omega}{\hbar} x - \frac{d}{dx} \right) $ à função gaussiana $ e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}} $:
Primeiro, calculamos a derivada:
Então, aplicando o operador:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de $ \psi_{1}(x) $:
Simplificando os fatores constantes:
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia $ E_{1} $ substituindo $ \psi_{1}(x) $ na equação de Schrödinger:
Para resolver isso, precisamos calcular a segunda derivada de $ \psi_{1}(x) $ e substituir na equação.
Passo 8
Porém, sabemos que para o Oscilador Harmônico Quântico, os níveis de energia são dados por:
Onde $ n = 0, 1, 2, 3, ··· $
Como estamos buscando $ E_{1} $, basta substituir $ n = 1 $:
Resposta
A energia associada à função $ \psi_{1}(x) $ é $ E_{1} = \dfrac{3}{2} \hbar \omega $.