Considere uma partícula de massa m, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma V(x)=12 m omega^2 x^2, onde omega é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
psin(x)=[12^n n!(hbarm omega)^n]^1 / 2(m omegapi hbar)^1 / 4[m omegahbar x-dd x]^n e^-m omega2 hbar x^2
onde n=0,1,2,3 ldots A partir desta solução geral, determine:
A energia E1 associada a função psi1(x) por substituição direta na equação de Schrodinger.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a energia $ E_{1} $ associada à função de onda $ \psi_{1}(x) $ de um Oscilador Harmônico Quântico, usando diretamente a equação de Schrödinger. Estamos lidando com o conceito de mecânica quântica, especificamente com o Oscilador Harmônico, que é um dos sistemas mais estudados nessa área. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger e como aplicá-la às funções de onda dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
-hbar^22m d^2psi(x)dx^2 + V(x) psi(x) = E psi(x)
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ V(x) $ é o potencial, $ \psi(x) $ é a função de onda, e $ E $ é a energia total da partícula.

Passo 3

No nosso caso, o potencial $ V(x) $ é dado por:
V(x)
Isso caracteriza um Oscilador Harmônico, onde $ \omega $ é a frequência angular da oscilação. A função de onda fornecida é para o caso $ n = 1 $:
V(x) = 12 m omega^2 x^2
Vamos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos.

Passo 4

Simplificando a expressão de $ \psi_{1}(x) $:
psi1(x)
Calculando os termos constantes:
psi1(x) = ( 12 cdot 1 cdot hbarm omega )^1/2 ( m omegapi hbar )^1/4 ( m omegahbar x - ddx ) e^-m omega2 hbar x^2

Passo 5

Agora, vamos aplicar o operador $ \left( \frac{m \omega}{\hbar} x - \frac{d}{dx} \right) $ à função gaussiana $ e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}} $:
Primeiro, calculamos a derivada:
( m omegahbar x - ddx )
Então, aplicando o operador:
e^-m omega2 hbar x^2
Simplificando:
ddx e^-m omega2 hbar x^2 = -m omegahbar x e^-m omega2 hbar x^2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de $ \psi_{1}(x) $:
psi1(x)
Simplificando os fatores constantes:
psi1(x) = ( hbar2 m omega )^1/2 ( m omegapi hbar )^1/4 cdot 2 m omegahbar x e^-m omega2 hbar x^2

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia $ E_{1} $ substituindo $ \psi_{1}(x) $ na equação de Schrödinger:
E1
Para resolver isso, precisamos calcular a segunda derivada de $ \psi_{1}(x) $ e substituir na equação.

Passo 8

Porém, sabemos que para o Oscilador Harmônico Quântico, os níveis de energia são dados por:
En = hbar omega ( n + 12 )
Onde $ n = 0, 1, 2, 3, ··· $
Como estamos buscando $ E_{1} $, basta substituir $ n = 1 $:
n = 0, 1, 2, 3, ldots

Resposta

A energia associada à função $ \psi_{1}(x) $ é $ E_{1} = \dfrac{3}{2} \hbar \omega $.

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