Considere uma partícula de massa m, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma V(x)=12 m omega^2 x^2, onde omega é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
psin(x)=[12^n n!(hbarm omega)^n]^1 / 2(m omegapi hbar)^1 / 4[m omegahbar x-dd x]^n e^-m omega2 hbar x^2
onde n=0,1,2,3 ldots A partir desta solução geral, determine:
Calcule os valores lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<=,lang<= prang<= e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa $ m $ que está se movendo em uma dimensão e é afetada por um potencial $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $. Esse tipo de sistema é conhecido como Oscilador Harmônico Quântico. A gente vai trabalhar com as funções de onda desse sistema para calcular os valores esperados de $ \langle x \rangle $, $ \langle x^{2} \rangle $, $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda, operadores quânticos e como calcular valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no contexto quântico, o valor esperado de uma grandeza física é o valor médio que esperaríamos medir se fizéssemos muitas medições desse sistema. Para calcular $ \langle x \rangle $ e $ \langle x^{2} \rangle $, vamos precisar integrar a função de onda multiplicada por $ x $ ou $ x^{2} $ e pela sua função de onda conjugada.
Dada a função de onda:
lang<= x rang<=
onde $ n = 0,1,2,3,··· $

Passo 3

Vamos começar calculando $ \langle x \rangle $. O valor esperado de $ x $ é dado por:
lang<= x rang<=
No caso do Oscilador Harmônico Quântico, as funções de onda são reais e pares ou ímpares dependendo de $ n $. Para qualquer estado $ n $, a função de onda é par se $ n $ for par e ímpar se $ n $ for ímpar. Multiplicando uma função par por uma ímpar resulta em uma função ímpar, e a integral de uma função ímpar em todo o domínio real é zero. Portanto, $ \langle x \rangle = 0 $ para todos os estados $ n $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \langle x^{2} \rangle $:
lang<= x^2 rang<=
Para o Oscilador Harmônico Quântico, sabemos que:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty psin^*(x) , x^2 , psin(x) , dx
Isso vem das propriedades dos operadores harmônicos e das funções de onda, onde $ n $ representa o nível de energia quântica.

Passo 5

Vamos calcular $ \langle p \rangle $. No espaço de posição, o operador momento $ p $ é dado por:
lang<= p rang<=
Então,
p
Similar ao caso de $ \langle x \rangle $, devido à simetria das funções de onda do Oscilador Harmônico Quântico, $ \langle p \rangle = 0 $ para todos os estados $ n $.

Passo 6

Por fim, vamos calcular $ \langle p^{2} \rangle $:
lang<= p^2 rang<=
Sabemos que:
lang<= p^2 rang<= = integral-infty^infty psin^*(x) , p^2 , psin(x) , dx
Essa expressão também é derivada das propriedades dos operadores harmônicos e das energias quantizadas do sistema.

Resposta

Os valores esperados para o Oscilador Harmônico Quântico são:
lang<= x rang<= = 0
lang<= x^2 rang<= = hbar2 m omega (2n + 1)
lang<= p rang<= = 0
lang<= p^2 rang<= = hbar m omega2 (2n + 1)

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