Considere uma partícula de massa
, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma
, onde
é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
onde
A partir desta solução geral, determine:
Calcule os valores
.
Calcule os valores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa $ m $ que está se movendo em uma dimensão e é afetada por um potencial $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $. Esse tipo de sistema é conhecido como Oscilador Harmônico Quântico. A gente vai trabalhar com as funções de onda desse sistema para calcular os valores esperados de $ \langle x \rangle $, $ \langle x^{2} \rangle $, $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda, operadores quânticos e como calcular valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no contexto quântico, o valor esperado de uma grandeza física é o valor médio que esperaríamos medir se fizéssemos muitas medições desse sistema. Para calcular $ \langle x \rangle $ e $ \langle x^{2} \rangle $, vamos precisar integrar a função de onda multiplicada por $ x $ ou $ x^{2} $ e pela sua função de onda conjugada.
Dada a função de onda:
onde $ n = 0,1,2,3,··· $
Passo 3
Vamos começar calculando $ \langle x \rangle $. O valor esperado de $ x $ é dado por:
No caso do Oscilador Harmônico Quântico, as funções de onda são reais e pares ou ímpares dependendo de $ n $. Para qualquer estado $ n $, a função de onda é par se $ n $ for par e ímpar se $ n $ for ímpar. Multiplicando uma função par por uma ímpar resulta em uma função ímpar, e a integral de uma função ímpar em todo o domínio real é zero. Portanto, $ \langle x \rangle = 0 $ para todos os estados $ n $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \langle x^{2} \rangle $:
Para o Oscilador Harmônico Quântico, sabemos que:
Isso vem das propriedades dos operadores harmônicos e das funções de onda, onde $ n $ representa o nível de energia quântica.
Passo 5
Vamos calcular $ \langle p \rangle $. No espaço de posição, o operador momento $ p $ é dado por:
Então,
Similar ao caso de $ \langle x \rangle $, devido à simetria das funções de onda do Oscilador Harmônico Quântico, $ \langle p \rangle = 0 $ para todos os estados $ n $.
Passo 6
Por fim, vamos calcular $ \langle p^{2} \rangle $:
Sabemos que:
Essa expressão também é derivada das propriedades dos operadores harmônicos e das energias quantizadas do sistema.
Resposta
Os valores esperados para o Oscilador Harmônico Quântico são: