Usando lei de Gauss, determine qual o campo elétrico de uma esfera maciça carregada, com uma densidade volumétrica de carga elétrica homogênea, em um dado ponto , no interior e no exterior da esfera.
Passo 1
Então, temos uma esfera maciça carregada de maneira uniforme, ou seja, com uma densidade volumétrica de carga elétrica constante . A questão pede para determinarmos o campo elétrico em um ponto , tanto no interior quanto no exterior dessa esfera, usando a Lei de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o campo elétrico, a Lei de Gauss e como aplicá-la em situações de simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é o campo elétrico. O campo elétrico em um ponto no espaço representa a força que uma carga de teste positiva sofreria naquele ponto. Agora, a Lei de Gauss nos ajuda a calcular o campo elétrico quando temos uma distribuição de carga com certa simetria, como a esférica nesse caso.
Passo 3
A Lei de Gauss é dada por:
onde é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada , é a carga total dentro dessa superfície e é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Como a distribuição de carga é esférica e homogênea, faz sentido escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera concêntrica com a esfera carregada. Vamos considerar um raio para essa superfície gaussiana.
Passo 5
Agora, precisamos considerar dois casos:
Ponto dentro da esfera ():
Aqui, a carga total encerrada pela superfície gaussiana é apenas a parte da carga que está dentro do raio . Como a densidade de carga é , a carga encerrada é:
Ponto fora da esfera ():
Neste caso, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. A carga total é:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss para cada caso:
Dentro da esfera ():
Simplificando:
Fora da esfera ():
Simplificando:
Resposta
Portanto, o campo elétrico em um ponto na esfera carregada é dado por:
Onde r é a distância do ponto P ao centro da esfera e r é o vetor unitário radial.