Usando lei de Gauss, determine qual o campo elétrico de uma esfera maciça carregada, com uma densidade volumétrica de carga elétrica rho homogênea, em um dado ponto P, no interior e no exterior da esfera.

Passo 1

Então, temos uma esfera maciça carregada de maneira uniforme, ou seja, com uma densidade volumétrica de carga elétrica constante rho. A questão pede para determinarmos o campo elétrico em um ponto P, tanto no interior quanto no exterior dessa esfera, usando a Lei de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o campo elétrico, a Lei de Gauss e como aplicá-la em situações de simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é o campo elétrico. O campo elétrico E em um ponto no espaço representa a força que uma carga de teste positiva sofreria naquele ponto. Agora, a Lei de Gauss nos ajuda a calcular o campo elétrico quando temos uma distribuição de carga com certa simetria, como a esférica nesse caso.

Passo 3

A Lei de Gauss é dada por:
ointSigma E cdot dA = Qencvarepsilon0
onde ointSigma E cdot dA é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada Sigma, Qenc é a carga total dentro dessa superfície e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Como a distribuição de carga é esférica e homogênea, faz sentido escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera concêntrica com a esfera carregada. Vamos considerar um raio r para essa superfície gaussiana.

Passo 5

Agora, precisamos considerar dois casos:
  1. Ponto P dentro da esfera ( r < R):
    Aqui, a carga total encerrada pela superfície gaussiana é apenas a parte da carga que está dentro do raio r. Como a densidade de carga é rho, a carga encerrada é:
    Qenc = rho cdot 43pi r^3
  2. Ponto P fora da esfera ( r >= R):
    Neste caso, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. A carga total é:
    Qenc = rho cdot 43pi R^3

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss para cada caso:
  1. Dentro da esfera ( r < R):
    ointSigma E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3varepsilon0
    Simplificando:
    E = rho r3varepsilon0
  2. Fora da esfera ( r >= R):
    ointSigma E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi R^3varepsilon0
    Simplificando:
    E = rho R^33varepsilon0 r^2

Resposta

Portanto, o campo elétrico E em um ponto P na esfera carregada é dado por:
E = rho , r3, varepsilon0 , r & para r < R rho , R^33, varepsilon0 , r^2 , r & para r >= R
Onde r é a distância do ponto P ao centro da esfera e r é o vetor unitário radial.

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