Considere uma partícula de massa m, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma V(x)=12 m omega^2 x^2, onde omega é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
psin(x)=[12^n n!(hbarm omega)^n]^1 / 2(m omegapi hbar)^1 / 4[m omegahbar x-dd x]^n e^-m omega2 hbar x^2
onde n=0,1,2,3 ldots. A partir desta solução geral, determine:
a) A função para o primeiro estado excitado psi1(x).
b) Quais são os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula?
c) A energia E1 associada a função psi1(x) por substituição direta na equação de Schrodinger.
d) Calcule os valores lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<=,lang<= prang<= e<p^2rang<=.
e) Calcule as incertezas sigmax e sigmap e o seu produto. O estado dado por psi1(x) é um estado de mínima incerteza? Justifique.
Resp: a) psi1(x)=(m omegapi hbar)^1 / 4 raiz2 m omegahbar x e^-m omega2 hbar x^2; b) xmax = pm raizhbarm omega; c) E1=32 hbar omega d) lang<= xrang<==0, lang<= x^2rang<==32 hbarm omega,lang<= prang<==0 e lang<= p^2rang<==32 hbar m omega.

Passo 1

O enunciado trata do oscilador harmônico quântico unidimensional, com potencial
V(x)=tfrac12,momega^2x^2
e funções de onda
psin(x)=l[12^n,n!l(hbarmomegar)^nr]^1/2l(momegapihbarr)^1/4l[momegahbarx-ddxr]^n e^-momega2hbarx^2,
Vamos obter explicitamente psi1(x), depois achar os máximos de |psi1|^2, usar o valor próprio de energia E1, calcular lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<=,lang<= prang<=,lang<= p^2rang<= e finalmente as incertezas sigmax e sigmap.

Passo 2

Para n=1 escrevemos
psi1(x)=l[12,1!l(hbarmomegar)r]^1/2l(momegapihbarr)^1/4l[momegahbarx-ddxr]e^-momega2hbarx^2
Chamando a=momegahbar, temos
ddxe^- a2x^2=-a x,e^- a2x^2,
logo
l(a x-tfracddxr)e^- a2x^2=(a x + a x)e^- a2x^2=2a x,e^- a2x^2
Assim
psi1(x) =raizhbar2momegal(momegapihbarr)^1/42a x,e^- a2x^2 =l(momegapihbarr)^1/4raiz2momegahbar,x,e^-momega2hbarx^2

Passo 3

A densidade de probabilidade é
P(x)=|psi1(x)|^2propto x^2,e^-a x^2
Derivando em x:
dPdxpropto 2x,e^-a x^2-a x^2cdot2x,e^-a x^2=2x(1 - a x^2)e^-a x^2
Zerando, obtemos x=0 (mínimo) ou
1 - a x^2=0Longrightarrow x^2=1a=hbarmomega
Logo os pontos de máximo são
xmax=pmraizhbarmomega

Passo 4

Sabendo que os autovalores do Hamiltoniano são
En=l(n+tfrac12r)hbaromega,
para n=1 vem
E1=32,hbaromega

Passo 5

Como psi1(x) é função ímpar,
lang<= xrang<==integral x,|psi1|^2dx=0,
e por simetria lang<= prang<==0. Para lang<= x^2rang<= usa-se o resultado geral
lang<= x^2rang<==l(n+tfrac12r)hbarmomega
logo para n=1:
lang<= x^2rang<==32,hbarmomega
Como
lang<= Hrang<==lang<= p^2rang<=2m+12,momega^2lang<= x^2rang<==E1,
temos
lang<= p^2rang<=2m=32,hbaromega-12,momega^2cdot32,hbarmomega =32,hbaromega-34,hbaromega=34,hbaromega
portanto
lang<= p^2rang<==32,hbar,momega

Passo 6

As incertezas são
sigmax=raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 =raiz32,hbarmomega, sigmap=raizlang<= p^2rang<=-lang<= prang<=^2 =raiz32,hbar,momega
O produto vale
sigmax,sigmap =raiz32,hbarmomega;raiz32,hbar,momega =32,hbar>hbar2,
portanto psi1 não é estado de incerteza mínima.

Resposta

a) psi1(x)=l(tfracmomegapihbarr)^1/4raiztfrac2momegahbar;x;e^-momega2hbarx^2.\n
b) xmax=pmraiztfrachbarmomega.\n
c) E1=tfrac32,hbaromega.\n
d) lang<= xrang<==0,;lang<= x^2rang<==tfrac32tfrachbarmomega,;lang<= prang<==0,;lang<= p^2rang<==tfrac32,hbar,momega.\n
e) sigmax=raiztfrac3hbar2momega,;sigmap=raiztfrac3hbar,momega2,;sigmaxsigmap=tfrac32hbar>tfrachbar2), logo não é estado de mínima incerteza.

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