Considere uma partícula de massa
, em movimento unidimensional, submetida a um potencial da forma
, onde
é a frequência de oscilação do sistema, que é um Oscilador Harmônico Quântico. Podemos escrever a forma geral das funções de onda para este problema como:
onde
. A partir desta solução geral, determine:
a) A função para o primeiro estado excitado
.
b) Quais são os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula?
c) A energia
associada a função
por substituição direta na equação de Schrodinger.
d) Calcule os valores
.
e) Calcule as incertezas
e
e o seu produto. O estado dado por
é um estado de mínima incerteza? Justifique.
Resp: a)
; b)
; c)
d)
,
e
.
a) A função para o primeiro estado excitado
b) Quais são os pontos de máxima probabilidade de encontrar a partícula?
c) A energia
d) Calcule os valores
e) Calcule as incertezas
Resp: a)
Passo 1
O enunciado trata do oscilador harmônico quântico unidimensional, com potencial
e funções de onda
Vamos obter explicitamente
, depois achar os máximos de
, usar o valor próprio de energia
, calcular
e finalmente as incertezas
e
.
Passo 2
Para
escrevemos
Chamando
, temos
logo
Assim
Passo 3
A densidade de probabilidade é
Derivando em
:
Zerando, obtemos
(mínimo) ou
Logo os pontos de máximo são
Passo 4
Sabendo que os autovalores do Hamiltoniano são
para
vem
Passo 5
Como
é função ímpar,
e por simetria
. Para
usa-se o resultado geral
logo para
:
Como
temos
portanto
Passo 6
As incertezas são
O produto vale
portanto
não é estado de incerteza mínima.
Resposta
a)
.\n
b) .\n
c) .\n
d) .\n
e) ), logo não é estado de mínima incerteza.
b)
c)
d)
e)