A energia de um oscilador harmônico linear é
, em que m é a massa da partícula em movimento harmônico simples e
é a frequência de oscilação.
a) Mostre, usando a relação de incerteza
(valor mínimo deste produto), que a energia média pode ser escrita como
b) Mostre, então, que a energia mínima do oscilador é
. Esta é chamada de energia de ponto zero do oscilador harmônico quântico unidimensional. Qual seria a energia mínima no caso clássico? (Dica: minimize
em relação ao comprimento
).
a) Mostre, usando a relação de incerteza
Passo 1
O enunciado nos dá a energia de um oscilador harmônico linear na forma
e pede:
– (a) usando a relação de incerteza no valor mínimo, mostrar que
– (a) usando a relação de incerteza
– (b) minimizar essa expressão em relação a
para encontrar
e comparar com o resultado clássico.
Para isso, vamos usar que em estado de média nula de e
, vale
e
.
Para isso, vamos usar que em estado de média nula de
Passo 2
Pelo princípio da incerteza, no mínimo temos
Como
e
, substituímos em
e obtemos
Reconhecendo
, chega-se a
Passo 3
Para achar a energia mínima quântica, minimizamos
em relação a
. Fazendo derivada e igualando a zero:
Logo
Substituindo esse valor em
, temos
Passo 4
No caso clássico, não há incerteza quântica limitando
ou
, de modo que podemos ter simultaneamente
e
. Daí a energia
atinge seu mínimo zero,
.
Resposta
No regime quântico temos
e no regime clássico