A energia de um oscilador harmônico linear é E=p^2 / 2 m+m omega x^2 / 2, em que m é a massa da partícula em movimento harmônico simples e omega é a frequência de oscilação.
a) Mostre, usando a relação de incerteza De<a x De<a p=hbar / 2 (valor mínimo deste produto), que a energia média pode ser escrita como
lang<= Erang<==hbar^28 mlang<= x^2rang<=+12 m omega^2lang<= x^2rang<=
b) Mostre, então, que a energia mínima do oscilador é E min =hbar omega2. Esta é chamada de energia de ponto zero do oscilador harmônico quântico unidimensional. Qual seria a energia mínima no caso clássico? (Dica: minimize E em relação ao comprimento (De<a x)^2=lang<= x^2rang<= ).

Passo 1

O enunciado nos dá a energia de um oscilador harmônico linear na forma
E = hat p^22m + 12,momega^2,hat x^2
e pede:
– (a) usando a relação de incerteza De<a x,De<a p = hbar/2 no valor mínimo, mostrar que
lang<= Erang<= = hbar^28mlang<= x^2rang<= + 12,momega^2lang<= x^2rang<=
– (b) minimizar essa expressão em relação a lang<= x^2rang<= para encontrar Erm min e comparar com o resultado clássico.
Para isso, vamos usar que em estado de média nula de x e p, vale lang<= x^2rang<==(De<a x)^2 e lang<= p^2rang<==(De<a p)^2.

Passo 2

Pelo princípio da incerteza, no mínimo temos
De<a x,De<a p = hbar2 Longrightarrow De<a p = hbar2,De<a x,
Como lang<= p^2rang<==(De<a p)^2 e lang<= x^2rang<==(De<a x)^2, substituímos em
lang<= Erang<= = lang<= p^2rang<=2m + 12,momega^2lang<= x^2rang<=
e obtemos
lang<= Erang<= = 12ml(De<a pr)^2 + 12,momega^2l(De<a xr)^2 = 12m,hbar^24(De<a x)^2 + 12,momega^2(De<a x)^2
Reconhecendo (De<a x)^2=lang<= x^2rang<=, chega-se a
lang<= Erang<= = hbar^28m,lang<= x^2rang<= + 12,momega^2,lang<= x^2rang<=

Passo 3

Para achar a energia mínima quântica, minimizamos
fl(lang<= x^2rang<=r) = hbar^28m,lang<= x^2rang<= + 12,momega^2,lang<= x^2rang<=
em relação a lang<= x^2rang<=. Fazendo derivada e igualando a zero:
dfdlang<= x^2rang<= = -hbar^28m,(lang<= x^2rang<=)^2 + 12,momega^2 = 0 Longrightarrow hbar^24m,(lang<= x^2rang<=)^2 = momega^2
Logo
(lang<= x^2rang<=)^2 = hbar^24m^2omega^2 Longrightarrow lang<= x^2rang<= = hbar2momega
Substituindo esse valor em lang<= Erang<=, temos
Emin = hbar^28m,2momegahbar + 12,momega^2,hbar2momega = hbaromega4 + hbaromega4 = hbaromega2

Passo 4

No caso clássico, não há incerteza quântica limitando De<a x ou De<a p, de modo que podemos ter simultaneamente x=0 e p=0. Daí a energia
E=p^22m+12,momega^2x^2
atinge seu mínimo zero, Erm min^rm cl=0.

Resposta

No regime quântico temos
Emin = hbaromega2,
e no regime clássico
Emin^rm cl = 0

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