Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por psi(x)= A e^-x^22 L^2 e a energia do estado é E=hbar^2 / 2 m L^2, onde L é um comprimento característico do sistema. Responda:
a) Determine a energia potencial em função de x para esta partícula quântica.
b) Qual é o tipo de potencial clássico que tem essa forma? Cite exemplos de sistemas que atuam com este potencial.
c) Mostre que x=L é um ponto de retorno clássico para o sistema.
d) Seja V(x)=m omega^2 x^2 / 2 o potencial de um oscilador harmônico unidimensional, onde omega é a frequência angular. Compare V(x) com o resultado obtido no item a e mostre que a energia total do estado com a função de onda psi(x) pode ser escrita da forma E=hbar omega / 2.
e) Obtenha o valor médio, lang<= xrang<=, da posição e, lang<= prang<=, do momento da partícula .
Resp: a) V(x)=hbar^22 m L^4 x^2; c) EK=hbar^22 m L^2(1-x^2L^2)

Passo 1

O enunciado d áá a fun\c{c}~{a}o de onda estacion’a’aria
psi(x)=A,e^-x^22L^2
com energia
E=hbar^22mL^2
O conte’udo 'e a equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger independente do tempo,
-hbar^22m,d^2psidx^2+V(x),psi=E,psi,
e vamos usar esse modelo para determinar V(x), identificar seu tipo, achar pontos de retorno e calcular valores m’edios.

Passo 2

Calculemos a segunda derivada de psi. Note que
dpsidx =-xL^2,psi, d^2psidx^2 =l(x^2L^4-1L^2r)psi

Passo 3

Substituindo na equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger:
-hbar^22ml(x^2L^4-1L^2r)psi+V(x),psi =E,psi
Dividindo por psi e isolando V(x), obtemos
V(x) =E+hbar^22ml(x^2L^4-1L^2r) =hbar^22mL^4,x^2
Isso responde o item (a).

Passo 4

(a) V(x)=dfrachbar^22mL^4,x^2
(b) Esse potencial é proporcional a x^2, ou seja, um oscilador harmônico clássico. Exemplos: vibração de moléculas diatômicas, armadilhas magnéticas para átomos ultrafrios, sistemas massa-mola em mecânica clássica.

Passo 5

(c) A energia cinética clássica é
EK=E-V(x) =hbar^22mL^2 l(1-x^2L^2r)
O ponto de retorno clássico ocorre quando EK=0, isto é,
1-x^2L^2=0 Rightarrow x=pm L
Em particular, x=L é um ponto de retorno.

Passo 6

(d) Para um oscilador harmônico unidimensional temos
V(x)=momega^22,x^2
Comparando com V(x)=dfrachbar^22mL^4,x^2, vemos
momega^22=hbar^22mL^4 Rightarrow omega=hbarmL^2
Logo a energia do estado é
E=hbar^22mL^2 =hbar2,omega

Passo 7

(e) A função de onda psi(x) é par, logo
lang<= xrang<= =integral-infty^inftyx,|psi(x)|^2,dx=0
Para o momento,
lang<= prang<= =-ihbarintegralpsi^*dpsidx,dx
o integrando é função ímpar, resultando também em zero:
lang<= prang<==0

Resposta

(a) V(x)=hbar^22mL^4,x^2
(b) Potencial harmônico (parabólico). Exemplos: vibração molecular, massa-mola, armadilha para átomos.
(c) De EK=E-V(x) segue EK=0 em x=pm L, logo x=L é ponto de retorno.
(d) Igualando coeficientes em V(x)=tfracmomega^22x^2 omega=hbar/(mL^2) e
E=hbaromega2
(e) lang<= xrang<==0, lang<= prang<==0

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