Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e a energia do estado é
, onde L é um comprimento característico do sistema. Responda:
a) Determine a energia potencial em função de x para esta partícula quântica.
b) Qual é o tipo de potencial clássico que tem essa forma? Cite exemplos de sistemas que atuam com este potencial.
c) Mostre que
é um ponto de retorno clássico para o sistema.
d) Seja
o potencial de um oscilador harmônico unidimensional, onde
é a frequência angular. Compare
com o resultado obtido no item a e mostre que a energia total do estado com a função de onda
pode ser escrita da forma
.
e) Obtenha o valor médio,
, da posição e,
, do momento da partícula .
Resp: a)
; c)
a) Determine a energia potencial em função de x para esta partícula quântica.
b) Qual é o tipo de potencial clássico que tem essa forma? Cite exemplos de sistemas que atuam com este potencial.
c) Mostre que
d) Seja
e) Obtenha o valor médio,
Passo 1
O enunciado d
a fun\c{c}~{a}o de onda estacion’a’aria
com energia
O conte’udo 'e a equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger independente do tempo,
e vamos usar esse modelo para determinar
, identificar seu tipo, achar pontos de retorno e calcular valores m’edios.
Passo 2
Calculemos a segunda derivada de
. Note que
Passo 3
Substituindo na equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger:
Dividindo por
e isolando
, obtemos
Isso responde o item (a).
Passo 4
(a)
(b) Esse potencial é proporcional a
, ou seja, um oscilador harmônico clássico. Exemplos: vibração de moléculas diatômicas, armadilhas magnéticas para átomos ultrafrios, sistemas massa-mola em mecânica clássica.
Passo 5
(c) A energia cinética clássica é
O ponto de retorno clássico ocorre quando
, isto é,
Em particular,
é um ponto de retorno.
Passo 6
(d) Para um oscilador harmônico unidimensional temos
Comparando com
, vemos
Logo a energia do estado é
Passo 7
(e) A função de onda
é par, logo
Para o momento,
o integrando é função ímpar, resultando também em zero:
Resposta
(a)
(b) Potencial harmônico (parabólico). Exemplos: vibração molecular, massa-mola, armadilha para átomos.
(c) De segue
em
, logo
é ponto de retorno.
(d) Igualando coeficientes em dá
e
(b) Potencial harmônico (parabólico). Exemplos: vibração molecular, massa-mola, armadilha para átomos.
(c) De
(d) Igualando coeficientes em
(e)