Considere que uma partícula se move no espaço, de modo que sua posição no instante t é dada pela função
r(t)=lang<= 3 cos t, t, 3 sen trang<=
Encontre
(a) ( 1,5 ponto) a velocidade escalar da partícula no instante t=0.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma partícula que se move no espaço, e sua posição no instante $ t $ é dada pela função
t
Precisamos encontrar a velocidade escalar da partícula no instante $ t = 0 $.
Conteúdo Necessário: Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Derivar a função posição para encontrar a vetor velocidade.
  2. Calcular a magnitude desse vetor velocidade para obter a velocidade escalar.

Passo 2

Encontrando a Vetor Velocidade:
A vetor velocidade $ \mathbf{v}(t) $ é a derivada da função posição $ \mathbf{r}(t) $ em relação ao tempo $ t $. Vamos derivar cada componente de $ \mathbf{r}(t) $:
v(t)
Derivando cada componente:
  1. Componente $ x $:
r(t)
  1. Componente $ y $:
t
  1. Componente $ z $:
r(t)
Portanto, a vetor velocidade é:
r(t) = lang<= 3 cos t, , t, , 3 sin t rang<=

Passo 3

Calculando a Vetor Velocidade no Instante $ t = 0 $:
Vamos substituir $ t = 0 $ na vetor velocidade $ \mathbf{v}(t) $:
t = 0
Calculando cada componente:
  • $ \sin 0 = 0 $
  • $ \cos 0 = 1 $
Então:
t = 0

Passo 4

Calculando a Velocidade Escalar:
A velocidade escalar é a magnitude da vetor velocidade $ \mathbf{v}(t) $. A fórmula para a magnitude de um vetor $ \langle a, , b, , c \rangle $ é:
v(t)
Aplicando isso à vetor velocidade no instante $ t = 0 $:
lang<= a, , b, , c rang<=

Resposta

A velocidade escalar da partícula no instante $ t = 0 $ é $ \sqrt{10} $ unidades de medida.

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