Considere que uma partícula se move no espaço, de modo que sua posição no instante
é dada pela função
Encontre
(a) ( 1,5 ponto) a velocidade escalar da partícula no instante
.
(a) ( 1,5 ponto) a velocidade escalar da partícula no instante
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos uma partícula que se move no espaço, e sua posição no instante $ t $ é dada pela função
Precisamos encontrar a velocidade escalar da partícula no instante $ t = 0 $.
Conteúdo Necessário: Para resolver isso, vamos precisar:
- Derivar a função posição para encontrar a vetor velocidade.
- Calcular a magnitude desse vetor velocidade para obter a velocidade escalar.
Passo 2
Encontrando a Vetor Velocidade:
A vetor velocidade $ \mathbf{v}(t) $ é a derivada da função posição $ \mathbf{r}(t) $ em relação ao tempo $ t $. Vamos derivar cada componente de $ \mathbf{r}(t) $:
Derivando cada componente:
- Componente $ x $:
- Componente $ y $:
- Componente $ z $:
Portanto, a vetor velocidade é:
Passo 3
Calculando a Vetor Velocidade no Instante $ t = 0 $:
Vamos substituir $ t = 0 $ na vetor velocidade $ \mathbf{v}(t) $:
Calculando cada componente:
- $ \sin 0 = 0 $
- $ \cos 0 = 1 $
Então:
Passo 4
Calculando a Velocidade Escalar:
A velocidade escalar é a magnitude da vetor velocidade $ \mathbf{v}(t) $. A fórmula para a magnitude de um vetor $ \langle a, , b, , c \rangle $ é:
Aplicando isso à vetor velocidade no instante $ t = 0 $:
Resposta
A velocidade escalar da partícula no instante $ t = 0 $ é $ \sqrt{10} $ unidades de medida.