Considere uma partícula movendo-se sob a influência de uma força F(x)=k-k x / \alpha^{2}.
a) Determine a energia potencial U(x) correspondente. O movimento da partícula é limitado ou ilimitado?
b) O que acontece quando a energia total é E=-k \alpha^{2} / 2 ?

Passo 1

O enunciado dá a força \;F(x)=k-\frac{k\,x}{\alpha^{2}}; e pede a energia potencial U(x). Sabendo que a energia potencial satisfaz
\frac{dU}{dx}=-F(x),
vamos integrar para encontrar U(x) e depois analisar se o movimento é limitado. Em seguida, veremos o caso em que a energia total é E=-\tfrac{k\alpha^{2}}{2}.

Passo 2

Integramos
\frac{dU}{dx}=-\Bigl(k-\frac{k\,x}{\alpha^{2}}\Bigr) =-k+\frac{k\,x}{\alpha^{2}}
para obter
U(x)=-\int\!F(x)\,dx =-\int\Bigl(k-\frac{k\,x}{\alpha^{2}}\Bigr)dx =-k\,x+\frac{k\,x^{2}}{2\,\alpha^{2}}+C.
Escolhendo a referência U(0)=0, temos C=0, logo
U(x)=-k\,x+\frac{k\,x^{2}}{2\,\alpha^{2}}.

Passo 3

Reescrevendo por completar o quadrado,
U(x) =\frac{k}{2\alpha^{2}}\bigl(x^{2}-2\alpha^{2}x\bigr) =\frac{k}{2\alpha^{2}}\bigl(x-\alpha^{2}\bigr)^{2} -\frac{k\,\alpha^{2}}{2}.
Esse potencial tem mínimo em x=\alpha^{2} com valor U_{\min}=-\tfrac{k\alpha^{2}}{2} e cresce sem limite quando \lvert x\rvert\to\infty. Portanto, para qualquer energia finita E, o movimento fica confinado entre os pontos de inversão dados por U(x)=E: o movimento é limitado.

Passo 4

Quando E=-\tfrac{k\alpha^{2}}{2}, a energia total coincide exatamente com o valor mínimo de U(x). Nesse caso os dois pontos de inversão se degeneram em x=\alpha^{2} e a partícula fica em equilíbrio estável nesse ponto, sem oscilar (amplitude zero).

Resposta

a) \displaystyle U(x)=-k\,x+\frac{k\,x^{2}}{2\,\alpha^{2}}. O potencial cresce para +\infty quando \lvert x\rvert\to\infty, logo o movimento é sempre limitado.
b) Se E=-\tfrac{k\,\alpha^{2}}{2}, a partícula fica em repouso em x=\alpha^{2}, pois essa é a posição de equilíbrio estável.

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