Quando a deformação de uma mola é muito intensa, a força elástica restauradora assume um caráter não-linear. Uma aproximação usual consiste em considerar uma constante elástica k(x)= k_{1}+k_{2} x^{2} para grandes deformações, sendo k_{1} e k_{2} constantes que dependem da rigidez mola.
a) Encontre a energia potencial elástica para uma deformação x arbitrária.
b) Mostre que, quando atingida por um objeto de massa m com velocidade v_{0}, a deformação máxima da mola será
x_{M}=\left(\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+2 m v_{0}^{2} k_{2}}-k_{1}}{k_{2}}\right)^{1 / 2}
Passo 1
O enunciado trata de uma mola cujo coeficiente elástico não é constante, mas varia com a deformação x como
k(x)=k_{1}+k_{2}\,x^{2},
sendo k_{1} e k_{2} constantes positivas. O objetivo é:
Encontrar a energia potencial elástica U(x) para deformação genérica x.
Usar conservação de energia, com um bloco de massa m que atinge a mola com velocidade inicial v_{0}, para mostrar que a máxima compressão x_{M} satisfaz
a) \displaystyle U(x)=\frac{k_{1}}{2}\,x^{2} + \frac{k_{2}}{4}\,x^{4}.
b) \displaystyle x_{M}=\sqrt{\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+2\,m\,v_{0}^{2}\,k_{2}}-k_{1}}{k_{2}}}.