Quando a deformação de uma mola é muito intensa, a força elástica restauradora assume um caráter não-linear. Uma aproximação usual consiste em considerar uma constante elástica k(x)= k_{1}+k_{2} x^{2} para grandes deformações, sendo k_{1} e k_{2} constantes que dependem da rigidez mola.
a) Encontre a energia potencial elástica para uma deformação x arbitrária.
b) Mostre que, quando atingida por um objeto de massa m com velocidade v_{0}, a deformação máxima da mola será
x_{M}=\left(\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+2 m v_{0}^{2} k_{2}}-k_{1}}{k_{2}}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado trata de uma mola cujo coeficiente elástico não é constante, mas varia com a deformação x como
k(x)=k_{1}+k_{2}\,x^{2},
sendo k_{1} e k_{2} constantes positivas. O objetivo é:
  1. Encontrar a energia potencial elástica U(x) para deformação genérica x.
  2. Usar conservação de energia, com um bloco de massa m que atinge a mola com velocidade inicial v_{0}, para mostrar que a máxima compressão x_{M} satisfaz
x_{M}=\sqrt{\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+2\,m\,v_{0}^{2}\,k_{2}}-k_{1}}{k_{2}}}\,.

Passo 2

O trabalho da força elástica restauradora F(x) é dado por
F(x) = -\,k(x)\,x = -\bigl(k_{1}+k_{2}\,x^{2}\bigr)\,x = -\,k_{1}\,x \;-\;k_{2}\,x^{3}.
A energia potencial U(x) (escolhendo U(0)=0) satisfaz
U(x) = -\int_{0}^{x} F(x')\,\mathrm{d}x' = \int_{0}^{x} \bigl(k_{1}\,x' + k_{2}\,x'^{3}\bigr)\,\mathrm{d}x'.
Integrando, obtemos
U(x) = \int_{0}^{x} k_{1}\,x'\,\mathrm{d}x' \;+\;\int_{0}^{x} k_{2}\,x'^{3}\,\mathrm{d}x' = \frac{k_{1}}{2}\,x^{2} \;+\;\frac{k_{2}}{4}\,x^{4}.

Passo 3

Quando a massa m de velocidade inicial v_{0} atinge a mola, sua energia cinética inicial
E_{\text{cin},0} = \frac{1}{2}\,m\,v_{0}^{2}
é totalmente convertida em energia potencial elástica no ponto de máxima deformação x_{M}. Pela conservação de energia,
\frac{1}{2}\,m\,v_{0}^{2} = U(x_{M}) = \frac{k_{1}}{2}\,x_{M}^{2} + \frac{k_{2}}{4}\,x_{M}^{4}.
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar,
2\,m\,v_{0}^{2} = 2\,k_{1}\,x_{M}^{2} + k_{2}\,x_{M}^{4}.

Passo 4

Para resolver em x_{M}, definimos y = x_{M}^{2}. A equação fica
k_{2}\,y^{2} + 2\,k_{1}\,y - 2\,m\,v_{0}^{2} = 0.
Isso é uma equação quadrática em y. Aplicando a fórmula de Bhaskara,
y = \frac{-2\,k_{1} + \sqrt{(2\,k_{1})^{2} + 4\,k_{2}\,(2\,m\,v_{0}^{2})}}{2\,k_{2}} = \frac{-2\,k_{1} + 2\,\sqrt{k_{1}^{2} + 2\,m\,v_{0}^{2}\,k_{2}}}{2\,k_{2}} = \frac{\sqrt{k_{1}^{2}+2\,m\,v_{0}^{2}\,k_{2}} - k_{1}}{k_{2}}.
Como y = x_{M}^{2} deve ser não negativa, escolhemos o sinal positivo da raiz. Finalmente,
x_{M} = \sqrt{y} = \sqrt{\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+2\,m\,v_{0}^{2}\,k_{2}} - k_{1}}{k_{2}}}\,,
que é exatamente a expressão pedida.

Resposta

a) \displaystyle U(x)=\frac{k_{1}}{2}\,x^{2} + \frac{k_{2}}{4}\,x^{4}.
b) \displaystyle x_{M}=\sqrt{\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+2\,m\,v_{0}^{2}\,k_{2}}-k_{1}}{k_{2}}}.

Exercícios relacionados