Uma mola é posicionada verticalmente e então pressionada de modo a sofrer uma deformação d. Se uma esfera de massa m é atrelada à extremidade da mola pressionada, encontre
a) A altura máxima atingida pela esfera quando a mola é solta.
b) A velocidade da esfera ao colidir com a mola novamente.

Passo 1

O enunciado descreve uma mola de constante elástica k inicialmente comprimida de um trecho d. Em seguida, prende-se uma esfera de massa m na extremidade da mola e solta-se o conjunto. Precisamos usar conservação de energia mecânica (energia potencial elástica, gravitacional e cinética) para achar:
a) a altura máxima h_{\max} que a esfera atinge acima da posição de liberação;
b) a velocidade v da esfera no instante em que ela retorna e toca a mola novamente.

Passo 2

No instante de liberação a energia mecânica está toda armazenada como energia potencial elástica da mola comprimida:
E_{\text{inicial}} = E_{\text{el}} = \tfrac12\,k\,d^2.
No ponto de altura máxima a velocidade é zero e toda essa energia virou energia potencial gravitacional da esfera:
E_{\text{final}} = m\,g\,h_{\max}.
Pela conservação de energia:
\tfrac12\,k\,d^2 = m\,g\,h_{\max}.

Passo 3

Isolando h_{\max} na equação da conservação de energia, obtemos
h_{\max} = \frac{\tfrac12\,k\,d^2}{m\,g} = \frac{k\,d^2}{2\,m\,g}.

Passo 4

Para achar a velocidade v da esfera no instante em que ela retorna e colide com a mola, consideramos que ao descer desde a altura máxima até a posição de liberação toda energia potencial gravitacional ganha se converte em energia cinética. Assim, na altura de liberação vale
m\,g\,h_{\max} = \tfrac12\,m\,v^2.

Passo 5

Substituindo h_{\max} = \dfrac{k\,d^2}{2\,m\,g} nessa última relação:
m\,g\!\left(\frac{k\,d^2}{2\,m\,g}\right) = \tfrac12\,m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{k\,d^2}{2} = \frac12\,m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{k\,d^2}{m}.
Portanto,
v = d\;\sqrt{\frac{k}{m}}.

Resposta

a) \displaystyle h_{\max} = \frac{k\,d^2}{2\,m\,g}.
b) \displaystyle v = d\,\sqrt{\frac{k}{m}}.

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