A velocidade de um objeto de massa m varia com a sua posição x como v(x)=A e^{-k x}, onde A e k são constantes conhecidas. Assumindo que o objeto parte da posição x_{0}=0, encontre:
a) A força resultante F_{R}(x) correspondente.
b) A posição como função do tempo, x(t).
c) A força resultante como função do tempo, F_{R}(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade do objeto
v(x)=A\,e^{-k x},
a massa m e a posição inicial x_{0}=0. Para resolver, vamos usar as leis de Newton e cálculo diferencial em três etapas: primeiro obter a força resultante em função de x via
F=m\,a,\quad a=v\,\frac{dv}{dx};
depois encontrar x(t) integrando
\frac{dx}{dt}=v(x);
e, por fim, expressar F_{R}(t) substituindo x(t) em F_{R}(x).

Passo 2

Para achar F_{R}(x), escrevemos
a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt}=v\,\frac{dv}{dx}.
Como v(x)=A e^{-k x}, temos
\frac{dv}{dx}=-kA\,e^{-k x},
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a = A e^{-k x}\cdot(-kA\,e^{-k x})=-kA^{2}e^{-2k x}.
Portanto
F_{R}(x)=m\,a=-m\,k\,A^{2}e^{-2k x}.

Passo 3

Para determinar x(t), separamos variáveis em
\frac{dx}{dt}=A\,e^{-k x} \quad\Longrightarrow\quad e^{k x}\,dx = A\,dt.
Integrando de 0 a x e de 0 a t, obtemos
\int_{0}^{x}e^{k x'}dx'=\int_{0}^{t}A\,dt' \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{k}\bigl(e^{k x}-1\bigr)=A\,t.
Assim
e^{k x}=1+ A k t \quad\Rightarrow\quad x(t)=\frac{1}{k}\ln\bigl(1+ A k t\bigr).

Passo 4

Substituindo x(t) em F_{R}(x), temos
F_{R}(t)=-m\,k\,A^{2}\,e^{-2k x(t)} =-m\,k\,A^{2}\bigl(e^{k x(t)}\bigr)^{-2} =-m\,k\,A^{2}\bigl(1+ A k t\bigr)^{-2}.

Resposta

a) \displaystyle F_{R}(x)=-m\,k\,A^{2}e^{-2k x}.
b) \displaystyle x(t)=\frac{1}{k}\ln\bigl(1+ A k t\bigr).
c) \displaystyle F_{R}(t)=-m\,k\,A^{2}\bigl(1+ A k t\bigr)^{-2}.

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