Dois mísseis são lançados em sentidos opostos. O Míssil A é lançado do topo de uma torre de 80 m de altura, com velocidade inicial de
a um ângulo de
com a horizontal, em direção ao ponto B , que está a 900 metros da base da torre. O Míssil B é lançado 5,0 segundos depois a partir do solo no ponto B , com velocidade inicial de
a um ângulo de
com a horizontal, em direção ao Míssil A.
Sabendo que os mísseis se movem num plano vertical e que ambos estão sujeitos apenas à aceleração da gravidade
determine:
a) Se os mísseis se encontram em voo.
b) Em caso afirmativo, determine o ponto de encontro: as coordenadas
e
e o instante de tempo em que ocorre.
Use:
a) Se os mísseis se encontram em voo.
b) Em caso afirmativo, determine o ponto de encontro: as coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois mísseis sendo lançados em direções opostas. O Míssil A parte do topo de uma torre de 80 metros com uma velocidade inicial de
em um ângulo de
. Já o Míssil B é lançado do chão 5 segundos depois de B, com velocidade inicial de
em um ângulo de
. Ambos estão sujeitos apenas à gravidade (
). Nosso objetivo é descobrir se eles se encontram durante o voo e, se sim, onde e quando isso acontece. Para resolver isso, vamos usar as equações de movimento para projéteis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as componentes de velocidade inicial para cada míssil. Para o Míssil A:
Para o Míssil B:
Passo 3
Agora vamos escrever as equações de posição para cada míssil. Considerando que o Míssil A é lançado do topo de uma torre de 80 metros, sua posição em qualquer instante
(medido a partir do lançamento do Míssil A) é:
Para o Míssil A:
Para o Míssil B, que é lançado 5 segundos depois, o tempo efetivo de voo é
. Então:
Para o Míssil B:
Passo 4
Para os mísseis se encontrarem, as posições
devem ser iguais a
e
iguais a
no mesmo instante
. Então, temos o sistema de equações:
Primeiro, vamos resolver a equação 1 para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo a primeira equação:
Vamos distribuir
:
Agora, vamos reunir os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Isolando
:
Simplificando dividindo numerador e denominador por 10:
Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por
:
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Então,
Passo 6
Agora que temos o tempo aproximado de
, vamos verificar se as coordenadas
e
são iguais nesse instante.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, os mísseis não se encontram durante o voo.
Resposta
a) Não, os mísseis não se encontram em voo.