Dois mísseis são lançados em sentidos opostos. O Míssil A é lançado do topo de uma torre de 80 m de altura, com velocidade inicial de 60 m / s a um ângulo de 60^circ com a horizontal, em direção ao ponto B , que está a 900 metros da base da torre. O Míssil B é lançado 5,0 segundos depois a partir do solo no ponto B , com velocidade inicial de 100 m / s a um ângulo de 45^circ com a horizontal, em direção ao Míssil A.
Sabendo que os mísseis se movem num plano vertical e que ambos estão sujeitos apenas à aceleração da gravidade (g=10,0 m / s^2) determine:
a) Se os mísseis se encontram em voo.
b) Em caso afirmativo, determine o ponto de encontro: as coordenadas x(t) e y(t) e o instante de tempo em que ocorre.
Use: sin 60=raiz32, cos 60=12, sin 45=raiz22, cos 45=raiz22

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois mísseis sendo lançados em direções opostas. O Míssil A parte do topo de uma torre de 80 metros com uma velocidade inicial de 60 m/s em um ângulo de 60^circ. Já o Míssil B é lançado do chão 5 segundos depois de B, com velocidade inicial de 100 m/s em um ângulo de 45^circ. Ambos estão sujeitos apenas à gravidade ( g = 10 m/s^2). Nosso objetivo é descobrir se eles se encontram durante o voo e, se sim, onde e quando isso acontece. Para resolver isso, vamos usar as equações de movimento para projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes de velocidade inicial para cada míssil. Para o Míssil A:
  • vAx = vA cdot cos(60^circ) = 60 cdot 12 = 30 m/s
  • vAy = vA cdot sin(60^circ) = 60 cdot raiz32 = 30raiz3 m/s
Para o Míssil B:
  • vBx = vB cdot cos(45^circ) = 100 cdot raiz22 = 50raiz2 m/s
  • vBy = vB cdot sin(45^circ) = 100 cdot raiz22 = 50raiz2 m/s

Passo 3

Agora vamos escrever as equações de posição para cada míssil. Considerando que o Míssil A é lançado do topo de uma torre de 80 metros, sua posição em qualquer instante t (medido a partir do lançamento do Míssil A) é:
Para o Míssil A:
  • xA(t) = vAx cdot t = 30t
  • yA(t) = 80 + vAy cdot t - 12 g t^2 = 80 + 30raiz3 t - 5t^2
Para o Míssil B, que é lançado 5 segundos depois, o tempo efetivo de voo é t - 5. Então:
Para o Míssil B:
  • xB(t) = 900 - vBx cdot (t - 5) = 900 - 50raiz2(t - 5)
  • yB(t) = 0 + vBy cdot (t - 5) - 12 g (t - 5)^2 = 50raiz2(t - 5) - 5(t - 5)^2

Passo 4

Para os mísseis se encontrarem, as posições xA(t) devem ser iguais a xB(t) e yA(t) iguais a yB(t) no mesmo instante t. Então, temos o sistema de equações:
  1. 30t = 900 - 50raiz2(t - 5)
  2. 80 + 30raiz3 t - 5t^2 = 50raiz2(t - 5) - 5(t - 5)^2
Primeiro, vamos resolver a equação 1 para encontrar t.

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
30t = 900 - 50raiz2(t - 5)
Vamos distribuir 50raiz2:
30t = 900 - 50raiz2t + 250raiz2
Agora, vamos reunir os termos com t de um lado:
30t + 50raiz2t = 900 + 250raiz2
Fatorando t:
t (30 + 50raiz2) = 900 + 250raiz2
Isolando t:
t = 900 + 250raiz230 + 50raiz2
Simplificando dividindo numerador e denominador por 10:
t = 90 + 25raiz23 + 5raiz2
Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por 3 - 5raiz2:
t = (90 + 25raiz2)(3 - 5raiz2)(3 + 5raiz2)(3 - 5raiz2)
Calculando o denominador:
3^2 - (5raiz2)^2 = 9 - 50 = -41
Calculando o numerador:
90 cdot 3 - 90 cdot 5raiz2 + 25raiz2 cdot 3 - 25raiz2 cdot 5raiz2
= 270 - 450raiz2 + 75raiz2 - 250
= 20 - 375raiz2
Então,
t = 20 - 375raiz2-41 = 375raiz2 - 2041 approx 375 times 1.4142 - 2041 approx 530.325 - 2041 approx 510.32541 approx 12,45 s

Passo 6

Agora que temos o tempo aproximado de t approx 12,45 s, vamos verificar se as coordenadas yA(t) e yB(t) são iguais nesse instante.
Calculando yA(t):
yA(12,45) = 80 + 30raiz3 times 12,45 - 5 times (12,45)^2
= 80 + 30 times 1,732 times 12,45 - 5 times 155,0025
= 80 + 648,27 - 775,0125
= 80 + 648,27 - 775,0125 approx -46,7425 m
Calculando yB(t):
t - 5 = 7,45 s
yB(12,45) = 50raiz2 times 7,45 - 5 times (7,45)^2
= 50 times 1,4142 times 7,45 - 5 times 55,5025
= 50 times 10,53 - 277,5125
= 526,5 - 277,5125 approx 248,9875 m
Como yA(t) neq yB(t), os mísseis não se encontram durante o voo.

Resposta

a) Não, os mísseis não se encontram em voo.

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