Considere uma partícula, no plano x y z, sob ação de uma força dada por F= (2 x+4 y) i+(4 x+2 z^3) j+(6 y z^2) k.
a) Encontre a função potencial desta força.
b) Calcule o trabalho para deslocar esta partícula de ( 0,0,0 ) a ( 1,1,1 ) usando o teorema fundamental do gradiente e sem usar o teorema fundamental do cálculo para o gradiente. Para o segundo cálculo, escolha qualquer caminho.

Passo 1

O enunciado nos dá a força
vec F(x,y,z) = (2x + 4y),hatimath + (4x + 2z^3),hatjmath + (6y,z^2),hat k
e pede:
a) encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que nabla f = vec F,
b) calcular o trabalho de (0,0,0) a (1,1,1) primeiro usando o teorema fundamental do gradiente e depois por integral de linha ao longo de um caminho qualquer.

Passo 2

Para ver que vec F é conservativa, conferimos o rotacional e vemos que ele é nulo (as derivadas cruzadas coincidem). Então existe f com
partial fpartial x = 2x + 4y, partial fpartial y = 4x + 2z^3, partial fpartial z = 6y,z^2
Integrando a primeira equação em x:
f(x,y,z) = integral (2x + 4y),dx = x^2 + 4xy + g(y,z)
Para determinar g(y,z), computamos
partial fpartial y = 4x + partial gpartial y overset!= 4x + 2z^3 Longrightarrow partial gpartial y = 2z^3
Integrando em y:
g(y,z) = 2y,z^3 + h(z)
Por fim, da condição sobre partial f/partial z:
partial fpartial z = 6y,z^2 + h'(z) overset!= 6y,z^2 Longrightarrow h'(z)=0,
logo h(z) é constante. Podemos escolher h(z)=0. Portanto, uma função potencial é
f(x,y,z) = x^2 + 4xy + 2y,z^3

Passo 3

Pelo teorema fundamental do gradiente, o trabalho de (0,0,0) a (1,1,1) vale
W = f(1,1,1) - f(0,0,0) = l(1^2 + 4cdot1cdot1 + 2cdot1cdot1^3r) - 0 = 1 + 4 + 2 = 7

Passo 4

Agora fazemos a integral de linha num caminho poligonal qualquer. Por exemplo, percorremos em três etapas:
  1. De (0,0,0) a (1,0,0) com vec r1(t)=(t,0,0), tin[0,1].
    vec F(vec r1)=(2t,,4t,,0), dvec r1=(1,0,0),dt. W1 = integral0^1 2t,dt = 1
  2. De (1,0,0) a (1,1,0) com vec r2(t)=(1,t,0), tin[0,1].
    vec F(vec r2)=(2+4t,,4,,0), dvec r2=(0,1,0),dt. W2 = integral0^1 4,dt = 4
  3. De (1,1,0) a (1,1,1) com vec r3(t)=(1,1,t), tin[0,1].
    vec F(vec r3)=(6,,4+2t^3,,6t^2), dvec r3=(0,0,1),dt. W3 = integral0^1 6t^2,dt = 2
Somando os trechos: W = W1 + W2 + W3 = 1 + 4 + 2 = 7, coincide com o valor pelo gradiente.

Resposta

a) f(x,y,z)=x^2 + 4xy + 2y,z^3 + C (podemos pôr C=0).
b) W=7.

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