Considere uma partícula, no plano
, sob ação de uma força dada por
.
a) Encontre a função potencial desta força.
b) Calcule o trabalho para deslocar esta partícula de (
) a (
) usando o teorema fundamental do gradiente e sem usar o teorema fundamental do cálculo para o gradiente. Para o segundo cálculo, escolha qualquer caminho.
a) Encontre a função potencial desta força.
b) Calcule o trabalho para deslocar esta partícula de (
Passo 1
O enunciado nos dá a força
e pede:
a) encontrar uma função potencial tal que
,
b) calcular o trabalho de a
primeiro usando o teorema fundamental do gradiente e depois por integral de linha ao longo de um caminho qualquer.
e pede:
a) encontrar uma função potencial
b) calcular o trabalho de
Passo 2
Para ver que
é conservativa, conferimos o rotacional e vemos que ele é nulo (as derivadas cruzadas coincidem). Então existe
com
Integrando a primeira equação em
:
Para determinar
, computamos
Integrando em
:
Por fim, da condição sobre
:
logo
é constante. Podemos escolher
. Portanto, uma função potencial é
Passo 3
Pelo teorema fundamental do gradiente, o trabalho de
a
vale
Passo 4
Agora fazemos a integral de linha num caminho poligonal qualquer. Por exemplo, percorremos em três etapas:
- De
a com , .
, . - De
a com , .
, . - De
a com , .
, .
Somando os trechos:
, coincide com o valor pelo gradiente.
Resposta
a)
(podemos pôr
).
b) .
b)