Supondo o caso unidimensional, a força gravitacional é dada por
F=-m g k
a) Calcule o trabalho para movimentar um bloco de massa m de z=0 m a z=1 m e de z=1 m a z=0 m. Mostre que o trabalho sobre caminho fechado é zero e então a força gravitacional é conservativa.
b) Calcule
F=-nabla V(z) -m g k=-d V(z)d z k
integrando ambos os lados com respeito a d z entre dois pontos quaisquer. Conclua que a energia potencial gravitacional é
V(z)=m g z=G M mz

Passo 1

O enunciado trata do cálculo de trabalho de uma força unidimensional e da obtenção da energia potencial associada. O conteúdo é trabalho de força, campo conservativo e potencial. Vamos:
  1. Calcular o trabalho de vec F=-m g,hat k de z=0 a z=1 e de z=1 a z=0.
  2. Mostrar que o trabalho em caminho fechado é zero (força conservativa).
  3. Obter V(z) a partir de vec F=-nabla V.

Passo 2

O trabalho de uma força em 1D é
W0to1=integralz=0^z=1vec Fcdot dvec r =integral0^1(-m g),dz =-m gl[zr]0^1 =-m g,(1-0) =-m g

Passo 3

Analogamente, de z=1 a z=0:
W1to0=integral1^0(-m g),dz =-m gl[zr]1^0 =-m g,(0-1) =+m g

Passo 4

Somando os trabalhos no trajeto de ida e volta (caminho fechado):
Wrm fechado=W0to1+W1to0=-m g + m g=0
Como o trabalho em ciclo fechado é zero, vec F é conservativa.

Passo 5

Para achar o potencial definimos
vec F=-nabla V(z) Longrightarrow -m g,hat k =-dVdz,hat k
que dá
dVdz=m g
Integrando entre dois pontos quaisquer,
V(z)=integral m g,dz = m g,z + C
Escolhendo V(0)=0 faz C=0, logo
V(z)=m g,z

Passo 6

No caso geral de uma massa m sujeita a força central F(r)=-G M mr^2,hat r, repete-se a integração
dVdr=G M mr^2 Longrightarrow V(r)=integralG M mr^2,dr=G M mr+C'
Escolhendo V(infty)=0 C'=0 e
V(r)=G M mr
Na notação vertical genérica (usando z em lugar de r) fica
V(z)=m g,z e V(z)=G M mz

Resposta

a) W0to1=-m g, W1to0=+m g, e Wrm fechado=0.
b) V(z)=m g,z (para campo uniforme) e, no caso de força F(r)=-GMm/r^2, V(r)=GMm/r.

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