Para o estudo do circuito RLC com fonte externa alternada V(t)=V0 sin (omegaF t), é útil obter todas as ddps em função da corrente. Portanto, prove que
De
OBS: Pelo gráfico dos fasores para t=0 é possível ver que a ddp no resistor está em fase com a corrente, que a ddp no indutor está sempre 90^circ adiantada em retação à corrente e que a ddp no capacitor está sempre 90^circ atrasada em relação à corrente.
OBS2: Note que as reatâncias XC, XL, e a impedância Z desempenham papel análogo ao da resistência R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um circuito RLC alimentado por uma fonte alternada . Nosso objetivo é provar as expressões para as quedas de tensão (ddps) nos componentes capacitivo, indutivo e resistor. Para isso, vamos precisar entender conceitos como reatância ( e ), impedância ( ) e como elas se relacionam com a corrente no circuito. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a corrente no circuito. Em circuitos AC, a corrente pode ser representada como uma função do tempo com uma amplitude i(t) = im cos(omegaF t + alpha) e um ângulo de fase . Então, a corrente é:
Aqui, é a frequência angular da fonte.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente do circuito RLC:
  1. Resistor ®: A tensão no resistor está em fase com a corrente. Isso significa que não há defasagem de fase entre a tensão e a corrente no resistor.
  2. Indutor (L): A tensão no indutor está adiantada em em relação à corrente. Essa defasagem é devida à reatância indutiva .
  3. Capacitor ©: A tensão no capacitor está atrasada em em relação à corrente, devido à reatância capacitiva .

Passo 4

Vamos relacionar essas observações às expressões matemáticas:
  • Tensão no Resistor ( De):
    Como a tensão está em fase com a corrente:
    De
  • Tensão no Indutor ( De):
    A tensão está adiantada em , ou seja, radianos:
  • Tensão no Capacitor ( ):
    A tensão está atrasada em , ou seja, radianos:

Passo 5

Note que De. Portanto, podemos reescrever a tensão no capacitor como:
Isso simplifica nossa expressão e alinha com o que a questão pede.

Passo 6

Finalmente, a tensão total da fonte Z = raizR^2 + (XL - XC)^2 é a soma vetorial das tensões nos componentes, levando em conta suas fases. A impedância total V(t) = Z im cos(omegaF t - pi2) do circuito RLC é dada por:
E como a tensão está defasada em relação à corrente, podemos escrever:

Resposta

Prova concluída! As quedas de tensão nos componentes do circuito RLC com uma fonte alternada são:
De

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