Considere uma partícula sujeita a uma força
que depende da posição como
, onde
é uma constante positiva. Resolva a equação do movimento para encontrar a posição
da partícula em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que uma partícula está sujeita a uma força $ F(x) = -k x^{2} $, onde $ k $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar a posição $ x(t) $ da partícula em função do tempo. Para resolver isso, vamos usar as leis do movimento de Newton e um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, lembramos da segunda lei de Newton, que relaciona a força $ F $ com a massa $ m $ e a aceleração $ a $ da partícula:
Como a aceleração $ a $ é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, temos:
Substituindo a força dada no problema:
Essa é a equação diferencial que precisamos resolver para encontrar $ x(t) $.
Passo 3
Para simplificar, vamos dividir ambos os lados da equação por $ m $:
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem não linear, o que significa que é um pouco mais complicada de resolver do que as equações lineares.
Passo 4
Uma técnica útil para resolver essa equação é multiplicar ambos os lados por $ \frac{dx}{dt} $, que é a velocidade $ v $:
Isso nos ajuda a integrar a equação utilizando métodos de conservação de energia.
Passo 5
Observamos que $ \frac{d{2}x}{dt{2}} \cdot \frac{dx}{dt} $ pode ser escrito como:
E o lado direito:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação ao tempo:
Onde $ C $ é a constante de integração que pode ser determinada por condições iniciais. Sem informações adicionais, vamos manter $ C $ como uma constante geral.
Passo 7
Queremos encontrar $ \frac{dx}{dt} $, então isolamos essa derivada:
Onde $ C’ = 2C $ é uma nova constante.
Passo 8
Para encontrar $ x(t) $, separamos as variáveis e integramos:
Essa integral não tem solução em termos de funções elementares conhecidas, o que significa que precisamos recorrer a funções especiais ou métodos numéricos para resolver $ x(t) $.
Resposta
A posição $ x(t) $ da partícula em função do tempo é dada implicitamente por:
onde $ C’ $ e $ C’’ $ são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais do problema.