Considere uma partícula sujeita a uma força F(x) que depende da posição como F(x)=-k x^2, onde k é uma constante positiva. Resolva a equação do movimento para encontrar a posição x(t) da partícula em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que uma partícula está sujeita a uma força $ F(x) = -k x^{2} $, onde $ k $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar a posição $ x(t) $ da partícula em função do tempo. Para resolver isso, vamos usar as leis do movimento de Newton e um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, lembramos da segunda lei de Newton, que relaciona a força $ F $ com a massa $ m $ e a aceleração $ a $ da partícula:
F
Como a aceleração $ a $ é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, temos:
m
Substituindo a força dada no problema:
a
Essa é a equação diferencial que precisamos resolver para encontrar $ x(t) $.

Passo 3

Para simplificar, vamos dividir ambos os lados da equação por $ m $:
m
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem não linear, o que significa que é um pouco mais complicada de resolver do que as equações lineares.

Passo 4

Uma técnica útil para resolver essa equação é multiplicar ambos os lados por $ \frac{dx}{dt} $, que é a velocidade $ v $:
dxdt
Isso nos ajuda a integrar a equação utilizando métodos de conservação de energia.

Passo 5

Observamos que $ \frac{d{2}x}{dt{2}} \cdot \frac{dx}{dt} $ pode ser escrito como:
d^2xdt^2 cdot dxdt
E o lado direito:
12 ddt ( ( dxdt )^2 )
Portanto, a equação fica:
-km x^2 cdot dxdt = ddt ( -k3m x^3 )

Passo 6

Agora, podemos integrar ambos os lados em relação ao tempo:
12 ( dxdt )^2 = -k3m x^3 + C
Onde $ C $ é a constante de integração que pode ser determinada por condições iniciais. Sem informações adicionais, vamos manter $ C $ como uma constante geral.

Passo 7

Queremos encontrar $ \frac{dx}{dt} $, então isolamos essa derivada:
dxdt
Onde $ C’ = 2C $ é uma nova constante.

Passo 8

Para encontrar $ x(t) $, separamos as variáveis e integramos:
x(t)
Essa integral não tem solução em termos de funções elementares conhecidas, o que significa que precisamos recorrer a funções especiais ou métodos numéricos para resolver $ x(t) $.

Resposta

A posição $ x(t) $ da partícula em função do tempo é dada implicitamente por:
x(t)
onde $ C’ $ e $ C’’ $ são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais do problema.

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