O vetor posição
de um ponto qualquer
no plano
fica também completamente caracterizado pelo seu módulo
e pelo ângulo
que faz com o eixo
(
e
são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
os unitários
e
em termos de
e
;
Expresse:
os unitários
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é sobre coordenadas polares no plano
. Nosso objetivo aqui é expressar os vetores unitários
e
em termos dos vetores unitários cartesianas
e
. Para isso, vamos precisar lembrar como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas e usar um pouco de trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas coordenadas. Em coordenadas polares, a posição de um ponto
é definida pelo módulo
(que é a distância do ponto até a origem) e pelo ângulo
que o vetor posição faz com o eixo
. Essas relações podem ser traduzidas para coordenadas cartesianas com as seguintes equações:
Isso significa que o vetor posição
pode ser escrito em termos de
e
assim:
Passo 3
Agora, vamos falar dos vetores unitários
e
. O vetor
aponta na direção do vetor posição
, ou seja, radialmente para fora, e
é perpendicular a
, apontando na direção em que o ângulo
está aumentando.
Para encontrar
em termos de
e
, a gente normaliza o vetor posição
. Isso significa dividir
pelo seu módulo
:
Passo 4
Agora, vamos descobrir
. Sabemos que
é perpendicular a
e aponta na direção em que
aumenta. Geometricamente, isso significa que
é uma rotação de 90 graus de
no sentido anti-horário. Matematicamente, isso nos dá:
Resposta
Então, resumindo tudo, os vetores unitários em coordenadas polares expressos em termos de
e
são:
e