O vetor posição r de um ponto qualquer P no plano x, y fica também completamente caracterizado pelo seu módulo r e pelo ângulo theta que faz com o eixo x ( r e theta são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Expresse:
os unitários r e theta em termos de i e j;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é sobre coordenadas polares no plano x, y. Nosso objetivo aqui é expressar os vetores unitários r e theta em termos dos vetores unitários cartesianas i e j. Para isso, vamos precisar lembrar como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas e usar um pouco de trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas coordenadas. Em coordenadas polares, a posição de um ponto P é definida pelo módulo r (que é a distância do ponto até a origem) e pelo ângulo theta que o vetor posição faz com o eixo x. Essas relações podem ser traduzidas para coordenadas cartesianas com as seguintes equações:
x = r cos theta
y = r sin theta
Isso significa que o vetor posição r pode ser escrito em termos de i e j assim:
r = x i + y j = r cos theta , i + r sin theta , j

Passo 3

Agora, vamos falar dos vetores unitários r e theta. O vetor r aponta na direção do vetor posição r, ou seja, radialmente para fora, e theta é perpendicular a r, apontando na direção em que o ângulo theta está aumentando.
Para encontrar r em termos de i e j, a gente normaliza o vetor posição r. Isso significa dividir r pelo seu módulo r:
r = r|r| = r cos theta , i + r sin theta , jr = cos theta , i + sin theta , j

Passo 4

Agora, vamos descobrir theta. Sabemos que theta é perpendicular a r e aponta na direção em que theta aumenta. Geometricamente, isso significa que theta é uma rotação de 90 graus de r no sentido anti-horário. Matematicamente, isso nos dá:
theta = -sin theta , i + cos theta , j

Resposta

Então, resumindo tudo, os vetores unitários em coordenadas polares expressos em termos de i e j são:
r = cos theta , i + sin theta , j
e
theta = -sin theta , i + cos theta , j

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