O vetor posição r de um ponto qualquer P no plano x, y fica também completamente caracterizado pelo seu módulo r e pelo ângulo theta que faz com o eixo x ( r e theta são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Mostre também que:
v=dotr r+r dottheta theta
e que
a=(ddotr-r dottheta^2) r+(2 dotr dottheta+r ddottheta) theta,
onde pontos sobre as letras significam, por convenção, derivadas em relação ao tempo. Obtenha os casos particulares para o movimento circular.
(Exercício 1.5 completamente resolvido no livro do Barcelos, de suma importância ao longo da disciplina).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando de movimento no plano usando coordenadas polares, que são definidas pelo módulo do vetor posição r e pelo ângulo theta que ele forma com o eixo x. Precisamos mostrar como as expressões para a velocidade v e a aceleração a ficam nessas coordenadas. Além disso, vamos analisar situações específicas quando o movimento é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representar o vetor posição r em coordenadas polares. Ele é dado por:
r = r r
Aqui, r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 3

Para encontrar a velocidade v, vamos derivar o vetor posição em relação ao tempo:
v = drdt = ddt (r r)
Como temos um produto de duas funções que dependem do tempo ( r e r), vamos usar a regra do produto.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
v = dotr r + r drdt
Aqui, dotr representa a derivada de r em relação ao tempo.

Passo 5

Sabemos que a derivada do vetor unitário r em coordenadas polares é:
drdt = dottheta theta
Onde theta é o vetor unitário na direção do ângulo theta.

Passo 6

Substituindo essa derivada na expressão da velocidade:
v = dotr r + r dottheta theta
Essa é a expressão da velocidade em coordenadas polares.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a aceleração a, que é a derivada da velocidade:
a = dvdt = ddt ( dotr r + r dottheta theta )

Passo 8

Derivando cada termo:
a = ddotr r + dotr drdt + dotr dottheta theta + r ddottheta theta + r dottheta dthetadt

Passo 9

Sabemos que:
drdt = dottheta theta e dthetadt = -dottheta r

Passo 10

Substituindo essas derivadas na expressão da aceleração:
a = ddotr r + dotr dottheta theta + dotr dottheta theta + r ddottheta theta - r dottheta^2 r

Passo 11

Vamos agrupar os termos semelhantes:
Na direção de r:
ddotr - r dottheta^2
Na direção de theta:
2 dotr dottheta + r ddottheta

Passo 12

Portanto, a aceleração fica:
a = ( ddotr - r dottheta^2 ) r + ( 2 dotr dottheta + r ddottheta ) theta

Passo 13

Agora, vamos analisar o caso particular do movimento circular. Nesse caso, o raio r é constante, ou seja, dotr = 0 e ddotr = 0. Além disso, se o movimento é circular uniforme, o ângulo theta varia de forma linear com o tempo, então ddottheta = 0.

Passo 14

Substituindo essas condições na expressão da velocidade e da aceleração:
Para a velocidade:
v = 0 cdot r + r dottheta theta = r dottheta theta
Para a aceleração:
a = ( 0 - r dottheta^2 ) r + ( 0 + 0 ) theta = - r dottheta^2 r

Resposta

Mostramos que, em coordenadas polares, a velocidade e a aceleração são dadas por:
v = dotr r + r dottheta theta
a = ( ddotr - r dottheta^2 ) r + ( 2 dotr dottheta + r ddottheta ) theta
No caso do movimento circular, com r constante, temos que:
v = r dottheta theta
a = - r dottheta^2 r

Exercícios relacionados