O vetor posição
de um ponto qualquer
no plano
fica também completamente caracterizado pelo seu módulo
e pelo ângulo
que faz com o eixo
(
e
são chamadas coordenadas polares). Resolva o exercício completo conforme descrito abaixo:
Mostre também que:
e que
onde pontos sobre as letras significam, por convenção, derivadas em relação ao tempo. Obtenha os casos particulares para o movimento circular.
(Exercício 1.5 completamente resolvido no livro do Barcelos, de suma importância ao longo da disciplina).
Mostre também que:
(Exercício 1.5 completamente resolvido no livro do Barcelos, de suma importância ao longo da disciplina).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando de movimento no plano usando coordenadas polares, que são definidas pelo módulo do vetor posição
e pelo ângulo
que ele forma com o eixo
. Precisamos mostrar como as expressões para a velocidade
e a aceleração
ficam nessas coordenadas. Além disso, vamos analisar situações específicas quando o movimento é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como representar o vetor posição
em coordenadas polares. Ele é dado por:
Aqui,
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Para encontrar a velocidade
, vamos derivar o vetor posição em relação ao tempo:
Como temos um produto de duas funções que dependem do tempo (
e
), vamos usar a regra do produto.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo.
Passo 5
Sabemos que a derivada do vetor unitário
em coordenadas polares é:
Onde
é o vetor unitário na direção do ângulo
.
Passo 6
Substituindo essa derivada na expressão da velocidade:
Essa é a expressão da velocidade em coordenadas polares.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Passo 8
Derivando cada termo:
Passo 9
Sabemos que:
Passo 10
Substituindo essas derivadas na expressão da aceleração:
Passo 11
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Na direção de
:
Na direção de
:
Passo 12
Portanto, a aceleração fica:
Passo 13
Agora, vamos analisar o caso particular do movimento circular. Nesse caso, o raio
é constante, ou seja,
e
. Além disso, se o movimento é circular uniforme, o ângulo
varia de forma linear com o tempo, então
.
Passo 14
Substituindo essas condições na expressão da velocidade e da aceleração:
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Resposta
Mostramos que, em coordenadas polares, a velocidade e a aceleração são dadas por:
No caso do movimento circular, com
constante, temos que: