Considere uma partícula sujeita a um processo de difusão em uma dimensão, descrito pela equação de Fokker-Planck:
onde
é a constante de difusão. A condição inicial é
, ou seja, a partícula começa na posição
. Encontre: A variância
da posição da partícula em função do tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que está se movendo de forma aleatória em uma dimensão, algo que chamamos de processo de difusão. A equação que descreve esse movimento é a equação de Fokker-Planck:
Aqui, $ P(x, t) $ é a probabilidade de encontrar a partícula na posição $ x $ no tempo $ t $, e $ D $ é a constante de difusão. A condição inicial dada é $ P(x, 0) = \delta(x - x_0) $, o que significa que a partícula começa exatamente na posição $ x_0 $. Nosso objetivo é encontrar a variância $ \left\langle x^{2} \right\rangle $ da posição da partícula em função do tempo $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação de Fokker-Planck está nos dizendo. Ela descreve como a probabilidade $ P(x, t) $ evolui com o tempo devido à difusão. Para resolver essa equação com a condição inicial dada, usamos uma solução conhecida chamada função de Green para a equação da difusão.
Quando a partícula começa em $ x_0 $, a solução para $ P(x, t) $ é uma distribuição gaussiana (ou normal) que se espalha com o tempo. A forma geral dessa solução é:
Passo 3
Agora que temos a função de probabilidade $ P(x, t) $, queremos encontrar a variância $ \left\langle x^{2} \right\rangle $. A variância mede o quanto a posição da partícula se espalha ao longo do tempo. Para calcular isso, usamos a definição matemática da variância:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. Sabemos que para uma distribuição gaussiana com média $ \mu = x_0 $ e variância $ \sigma^{2} = D t $, temos:
Substituindo os valores:
Resposta
A variância da posição da partícula em função do tempo $ t $ é: