Considere uma partícula sujeita a um processo de difusão em uma dimensão, descrito pela equação de Fokker-Planck:
partial P(x, t)partial t=D2 partial^2 P(x, t)partial x^2
onde D é a constante de difusão. A condição inicial é P(x, 0)=de, ou seja, a partícula começa na posição x0. Encontre: A expressão para P(x, t), a densidade de probabilidade da posição da partícula em função de x e t.
b - A variância lang<= x^2rang<= da posição da partícula em função do tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que fala sobre processo de difusão em uma dimensão, descrito pela equação de Fokker-Planck. A equação que você deu é:
partial P(x, t)partial t = D2 partial^2 P(x, t)partial x^2
Aqui, $ D $ é a constante de difusão. A condição inicial é que a partícula começa exatamente na posição $ x_0 $, ou seja, $ P(x, 0) = \delta(x - x_0) $, onde $ \delta $ é a função delta de Dirac.
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e funções de distribuição de probabilidade para resolver esse problema. Nosso objetivo é:
a) Encontrar a expressão para $ P(x, t) $, que nos dá a densidade de probabilidade da posição da partícula em função de $ x $ e $ t $.
b) Determinar a variância $ \left\langle x^{2} \right\rangle $ da posição da partícula em função do tempo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a): encontrar $ P(x, t) $.
A equação que temos é uma equação de difusão, que descreve como a probabilidade se espalha ao longo do tempo. A solução dessa equação, com a condição inicial dada, é conhecida como a solução fundamental ou solução de Green para a equação da difusão.
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula da distribuição Gaussiana (ou normal), que é a solução clássica para a equação de difusão com uma condição inicial de impulso (como a função delta de Dirac).
A solução geral para $ P(x, t) $ é:
P(x, t)
onde $ \sigma^{2} $ é a variância que depende do tempo $ t $.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a variância $ \sigma^{2} $ com a constante de difusão $ D $. Sabemos que, em difusão, a variância cresce linearmente com o tempo:
sigma^2
Substituindo isso na expressão de $ P(x, t) $, temos:
D
Essa é a forma final da densidade de probabilidade $ P(x, t) $ para a partícula em função de $ x $ e $ t $.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b): encontrar a variância $ \left\langle x^{2} \right\rangle $.
A variância de uma distribuição de probabilidade é dada por:
lang<= x^2 rang<=
Para a distribuição Gaussiana que encontramos, sabemos que a variância $ \sigma^{2} $ já está relacionada ao tempo e à constante de difusão. Portanto:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty x^2 P(x, t) , dx
Isso significa que a variância da posição da partícula aumenta linearmente com o tempo, proporcional à constante de difusão $ D $.

Resposta

a) A densidade de probabilidade é
P(x, t) = 1raiz4pi Dt exp( -(x - x0)^24Dt )
b) A variância da posição da partícula em função do tempo é
lang<= x^2 rang<= = 2Dt

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