Considere uma partícula sujeita a um processo de difusão em uma dimensão, descrito pela equação de Fokker-Planck:
onde
é a constante de difusão. A condição inicial é
, ou seja, a partícula começa na posição
. Encontre: A expressão para
, a densidade de probabilidade da posição da partícula em função de
e
.
b - A variância
da posição da partícula em função do tempo
.
b - A variância
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que fala sobre processo de difusão em uma dimensão, descrito pela equação de Fokker-Planck. A equação que você deu é:
Aqui, $ D $ é a constante de difusão. A condição inicial é que a partícula começa exatamente na posição $ x_0 $, ou seja, $ P(x, 0) = \delta(x - x_0) $, onde $ \delta $ é a função delta de Dirac.
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e funções de distribuição de probabilidade para resolver esse problema. Nosso objetivo é:
a) Encontrar a expressão para $ P(x, t) $, que nos dá a densidade de probabilidade da posição da partícula em função de $ x $ e $ t $.
b) Determinar a variância $ \left\langle x^{2} \right\rangle $ da posição da partícula em função do tempo $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a): encontrar $ P(x, t) $.
A equação que temos é uma equação de difusão, que descreve como a probabilidade se espalha ao longo do tempo. A solução dessa equação, com a condição inicial dada, é conhecida como a solução fundamental ou solução de Green para a equação da difusão.
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula da distribuição Gaussiana (ou normal), que é a solução clássica para a equação de difusão com uma condição inicial de impulso (como a função delta de Dirac).
A solução geral para $ P(x, t) $ é:
onde $ \sigma^{2} $ é a variância que depende do tempo $ t $.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a variância $ \sigma^{2} $ com a constante de difusão $ D $. Sabemos que, em difusão, a variância cresce linearmente com o tempo:
Substituindo isso na expressão de $ P(x, t) $, temos:
Essa é a forma final da densidade de probabilidade $ P(x, t) $ para a partícula em função de $ x $ e $ t $.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b): encontrar a variância $ \left\langle x^{2} \right\rangle $.
A variância de uma distribuição de probabilidade é dada por:
Para a distribuição Gaussiana que encontramos, sabemos que a variância $ \sigma^{2} $ já está relacionada ao tempo e à constante de difusão. Portanto:
Isso significa que a variância da posição da partícula aumenta linearmente com o tempo, proporcional à constante de difusão $ D $.
Resposta
a) A densidade de probabilidade é
b) A variância da posição da partícula em função do tempo é