Um gás é composto por partículas que se movem ao longo de uma linha. A distribuição inicial das partículas é centrada na origem
, e a difusão segue o modelo da equação de Fokker-Planck com
, ou seja, com um termo de arrasto. Se o coeficiente de difusão é
, e a velocidade média
, calcule: A posição média das partículas após
.
b - A variância da posição das partículas após
.
b - A variância da posição das partículas após
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre movimento de partículas em uma linha usando a equação de Fokker-Planck. A gente precisa calcular duas coisas:
a) A posição média das partículas após 100 segundos.
b) A variância da posição das partículas após 100 segundos.
a) A posição média das partículas após 100 segundos.
b) A variância da posição das partículas após 100 segundos.
Para isso, vamos usar os conceitos de difusão com arrasto, que envolvem o coeficiente de difusão $ D $ e a velocidade média $ c $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a posição média das partículas. A posição média, ou valor esperado, nos diz onde, em média, as partículas estão localizadas após um certo tempo. No nosso caso, queremos saber onde as partículas estarão em média após 100 segundos.
Passo 3
A equação de Fokker-Planck descreve a evolução da distribuição de probabilidade das partículas ao longo do tempo, considerando tanto a difusão quanto o movimento direcionado (arrasto). A posição média $ \langle x(t) \rangle $ em presença de arrasto é dada por:
Aqui:
- $ \langle x(0) \rangle $ é a posição média inicial.
- $ c $ é a velocidade média.
- $ t $ é o tempo.
Passo 4
No enunciado, está dizendo que a distribuição inicial está centrada na origem, ou seja, $ \langle x(0) \rangle = 0 $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular a posição média após $ t = 100 $ segundos usando $ c = 0,3 , \mathrm{m/s} $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância da posição das partículas após 100 segundos. A variância nos mostra a dispersão das partículas em torno da posição média. Na equação de Fokker-Planck, a variância $ \sigma^2(t) $ é dada por:
Aqui:
- $ D $ é o coeficiente de difusão.
- $ t $ é o tempo.
Essa fórmula assume que não há correlação entre a difusão e o movimento de arrasto.
Passo 7
Substituindo os valores fornecidos no exercício ($ D = 0,05 , \mathrm{m}^2/\mathrm{s} $ e $ t = 100 , \mathrm{s} $) na fórmula da variância:
Resposta
a) A posição média das partículas após 100 segundos é 30 metros.
b) A variância da posição das partículas após 100 segundos é 10 metros quadrados.