Suponha que uma substância se difunde ao longo de uma linha, com uma constante de difusão
. A concentração inicial da substância é uma função delta de Dirac,
. Usando a solução fundamental da equação de difusão, encontre a expressão para
, a concentração da substância em função do tempo
e da posição
.
35 - Considere uma partícula sujeita a um processo de difusão em uma dimensão, descrito pela equação de Fokker-Planck:
onde
é a constante de difusão. A condição inicial é
, ou seja, a partícula começa na posição
. Encontre:
a - A expressão para
, a densidade de probabilidade da posição da partícula em função de
e
.
35 - Considere uma partícula sujeita a um processo de difusão em uma dimensão, descrito pela equação de Fokker-Planck:
a - A expressão para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma partícula que está se difundindo em uma dimensão, seguindo a equação de Fokker-Planck. O que queremos descobrir é a expressão para $ P(x, t) $, que representa a densidade de probabilidade da posição da partícula em função de $ x $ e $ t $. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a equação de difusão e aplicar a solução fundamental para a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de difusão que temos:
Aqui, $ D $ é a constante de difusão. Essa equação descreve como a densidade de probabilidade $ P(x, t) $ evolui ao longo do tempo e do espaço.
Passo 3
A condição inicial que nos foi dada é $ P(x, 0) = \delta(x - x_0) $, onde $ \delta $ é a função delta de Dirac. Isso significa que, no tempo $ t = 0 $, toda a probabilidade está concentrada na posição $ x_0 $.
Passo 4
Para resolver a equação de difusão com essa condição inicial, usamos a solução fundamental da equação de difusão, que para uma dimensão é uma função gaussiana. A solução geral para $ P(x, t) $ é dada por:
onde $ \sigma^2 $ é a variância que depende do tempo e da constante de difusão.
Passo 5
No nosso caso, a equação de difusão tem o coeficiente $ \frac{D}{2} $. A variância $ \sigma^2 $ está relacionada com esse coeficiente e o tempo $ t $ pela expressão $ \sigma^2 = D t $. Substituindo isso na nossa solução, temos:
Resposta
A densidade de probabilidade é dada por