Suponha que uma substância se difunde ao longo de uma linha, com uma constante de difusão D=1 cm^2 / s. A concentração inicial da substância é uma função delta de Dirac, P(x, 0)=de. Usando a solução fundamental da equação de difusão, encontre a expressão para P(x, t), a concentração da substância em função do tempo t e da posição x.
35 - Considere uma partícula sujeita a um processo de difusão em uma dimensão, descrito pela equação de Fokker-Planck:
partial P(x, t)partial t=D2 partial^2 P(x, t)partial x^2
onde D é a constante de difusão. A condição inicial é P(x, 0)=de, ou seja, a partícula começa na posição x0. Encontre:
a - A expressão para P(x, t), a densidade de probabilidade da posição da partícula em função de x e t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma partícula que está se difundindo em uma dimensão, seguindo a equação de Fokker-Planck. O que queremos descobrir é a expressão para $ P(x, t) $, que representa a densidade de probabilidade da posição da partícula em função de $ x $ e $ t $. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a equação de difusão e aplicar a solução fundamental para a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de difusão que temos:
partial P(x, t)partial t = D2 partial^2 P(x, t)partial x^2
Aqui, $ D $ é a constante de difusão. Essa equação descreve como a densidade de probabilidade $ P(x, t) $ evolui ao longo do tempo e do espaço.

Passo 3

A condição inicial que nos foi dada é $ P(x, 0) = \delta(x - x_0) $, onde $ \delta $ é a função delta de Dirac. Isso significa que, no tempo $ t = 0 $, toda a probabilidade está concentrada na posição $ x_0 $.

Passo 4

Para resolver a equação de difusão com essa condição inicial, usamos a solução fundamental da equação de difusão, que para uma dimensão é uma função gaussiana. A solução geral para $ P(x, t) $ é dada por:
P(x, t)
onde $ \sigma^2 $ é a variância que depende do tempo e da constante de difusão.

Passo 5

No nosso caso, a equação de difusão tem o coeficiente $ \frac{D}{2} $. A variância $ \sigma^2 $ está relacionada com esse coeficiente e o tempo $ t $ pela expressão $ \sigma^2 = D t $. Substituindo isso na nossa solução, temos:
D2

Resposta

A densidade de probabilidade é dada por
P(x, t) = 1raiz2 pi D t exp( -(x - x0)^22 D t )

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