Considere partículas de carga +q C colocadas e mantidas fixas nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Coloca-se então uma carga de -1 C em P(x, y, z).
b)A partícula carregada negativamente deve ser colocada em um ponto P(x, y, z) equidistante das três cargas positivas, de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja nula. Ache as coordenadas de P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três cargas positivas de +q C fixadas nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Agora, queremos colocar uma carga negativa de -1 C em um ponto P(x, y, z) que esteja igualmente distante dessas três cargas positivas. A ideia é que, nessa posição, as forças que as cargas positivas exercem na carga negativa se anulem, fazendo com que a força líquida sobre ela seja zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que P(x, y, z) deve estar igualmente distante das três cargas positivas. Isso significa que a distância de P a cada uma das cargas positivas deve ser a mesma. A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço 3D é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para encontrar as distâncias de P(x, y, z) a cada uma das três cargas:
  1. Distância até (1,0,0):
d1 = raiz(x - 1)^2 + y^2 + z^2
  1. Distância até (0,1,0):
d2 = raizx^2 + (y - 1)^2 + z^2
  1. Distância até (0,0,1):
d3 = raizx^2 + y^2 + (z - 1)^2
Como P está equidistante das três cargas, temos que .

Passo 4

Vamos então igualar raiz(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = raizx^2 + (y - 1)^2 + z^2 a (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - 1)^2 + z^2 e x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 + z^2 a -2x = -2y implies x = y :
Primeiro:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, vamos igualar raiz(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = raizx^2 + y^2 + (z - 1)^2 a (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - 1)^2 :
x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 1
Elevando ambos os lados ao quadrado:
-2x = -2z implies x = z
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:

Passo 6

Agora, sabemos que e , então todas as coordenadas são iguais: . Vamos chamar essa coordenada comum de , ou seja, .

Passo 7

A coordenada P é assim F = k |q1 q2|d^2 . Agora, precisamos que a força líquida sobre a carga negativa seja zero. Segundo a Lei de Coulomb, a for��a entre duas cargas é:
Como as forças provenientes das três cargas positivas devem se anular, e elas estão igualmente distantes de P, a única maneira de isso ocorrer é se a carga em P estiver no ponto equidistante onde os vetores das forças se cancelam mutuamente.

Passo 8

Como já determinamos que d = raiz(a - 1)^2 + a^2 + a^2 , e as distâncias são iguais, substituímos na equação da distância:
d = raiz(a - 1)^2 + 2a^2
Simplificando:
Para que as forças se anulem, essa distância deve ser a mesma para todas as três cargas, e considerando que a carga em P é -1 C enquanto as outras são +q C, encontramos que a única solução que satisfaz a condição de equilíbrio é .

Resposta

As coordenadas do ponto P onde a carga negativa deve ser colocada para que a força líquida seja nula são:
P(12, 12, 12)

Exercícios relacionados