Considere partículas de carga
C colocadas e mantidas fixas nos pontos
,
e
. Coloca-se então uma carga de
em
.
b)A partícula carregada negativamente deve ser colocada em um ponto
equidistante das três cargas positivas, de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja nula. Ache as coordenadas de P.
b)A partícula carregada negativamente deve ser colocada em um ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três cargas positivas de +q C fixadas nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Agora, queremos colocar uma carga negativa de -1 C em um ponto P(x, y, z) que esteja igualmente distante dessas três cargas positivas. A ideia é que, nessa posição, as forças que as cargas positivas exercem na carga negativa se anulem, fazendo com que a força líquida sobre ela seja zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que P(x, y, z) deve estar igualmente distante das três cargas positivas. Isso significa que a distância de P a cada uma das cargas positivas deve ser a mesma. A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço 3D é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar as distâncias de P(x, y, z) a cada uma das três cargas:
- Distância até (1,0,0):
- Distância até (0,1,0):
- Distância até (0,0,1):
Como P está equidistante das três cargas, temos que
.
Passo 4
Vamos então igualar
a
e
a
:
Primeiro:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos igualar
a
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, sabemos que
e
, então todas as coordenadas são iguais:
. Vamos chamar essa coordenada comum de
, ou seja,
.
Passo 7
A coordenada P é assim
. Agora, precisamos que a força líquida sobre a carga negativa seja zero. Segundo a Lei de Coulomb, a for��a entre duas cargas é:
Como as forças provenientes das três cargas positivas devem se anular, e elas estão igualmente distantes de P, a única maneira de isso ocorrer é se a carga em P estiver no ponto equidistante onde os vetores das forças se cancelam mutuamente.
Passo 8
Como já determinamos que
, e as distâncias são iguais, substituímos na equação da distância:
Simplificando:
Para que as forças se anulem, essa distância deve ser a mesma para todas as três cargas, e considerando que a carga em P é -1 C enquanto as outras são +q C, encontramos que a única solução que satisfaz a condição de equilíbrio é
.
Resposta
As coordenadas do ponto P onde a carga negativa deve ser colocada para que a força líquida seja nula são: