Os vetores , são L.I. ou L.D. ? Eles formam uma base de ? Caso formem um base, determine as coordenadas do vetor nessa base.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional :
A pergunta quer saber se esses vetores são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.), se eles formam uma base para e, caso formem uma base, quais são as coordenadas do vetor nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como combinação linear, independência linear e bases de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I.; caso contrário, são L.D.
Como o determinante é diferente de zero (det = -182 neq 0), os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Como os três vetores são linearmente independentes e pertencem ao espaço R^3, eles formam uma base para esse espaço. Uma base é um conjunto de vetores que são L.I. e que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Passo 4
Agora, queremos encontrar as coordenadas do vetor i + j + k nessa base formada por u, v e w. Isso significa que precisamos encontrar escalares a, b e c tais que: