Os vetores u=4 i+j-3 k, v=2 i+j+3 k, w=-3 i+9 j-k, são L.I. ou L.D. ? Eles formam uma base de IR^3 ? Caso formem um base, determine as coordenadas do vetor i+j+k nessa base.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
u = 4i + j - 3k, v = 2i + j + 3k, w = -3i + 9j - k
A pergunta quer saber se esses vetores são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.), se eles formam uma base para R^3 e, caso formem uma base, quais são as coordenadas do vetor i + j + k nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como combinação linear, independência linear e bases de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores u, v e w são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I.; caso contrário, são L.D.
A matriz formada pelos vetores é:
4 & 2 & -3 1 & 1 & 9 -3 & 3 & -1
Calculando o determinante dessa matriz:
det = 4 cdot (1 cdot (-1) - 9 cdot 3) - 2 cdot (1 cdot (-1) - 9 cdot (-3)) + (-3) cdot (1 cdot 3 - 1 cdot (-3))
det = 4 cdot (-1 - 27) - 2 cdot (-1 + 27) - 3 cdot (3 + 3)
det = 4 cdot (-28) - 2 cdot 26 - 3 cdot 6
det = -112 - 52 - 18 = -182
Como o determinante é diferente de zero ( det = -182 neq 0), os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como os três vetores são linearmente independentes e pertencem ao espaço R^3, eles formam uma base para esse espaço. Uma base é um conjunto de vetores que são L.I. e que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 4

Agora, queremos encontrar as coordenadas do vetor i + j + k nessa base formada por u, v e w. Isso significa que precisamos encontrar escalares a, b e c tais que:
au + bv + cw = i + j + k
Substituindo os vetores:
a(4i + j - 3k) + b(2i + j + 3k) + c(-3i + 9j - k) = i + j + k
Distribuindo os escalares:
(4a + 2b - 3c)i + (a + b + 9c)j + (-3a + 3b - c)k = i + j + k
Isso nos dá o sistema de equações:
4a + 2b - 3c = 1 a + b + 9c = 1 -3a + 3b - c = 1

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, da segunda equação, expressamos a em termos de b e c:
a = 1 - b - 9c
Substituímos a na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
4(1 - b - 9c) + 2b - 3c = 1
4 - 4b - 36c + 2b - 3c = 1
-2b - 39c = -3
2b + 39c = 3 (Equação 4) çã
Terceira equação:
-3(1 - b - 9c) + 3b - c = 1
-3 + 3b + 27c + 3b - c = 1
6b + 26c = 4 (Equação 5) çã

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações:
2b + 39c = 3 (Equação 4) 6b + 26c = 4 (Equação 5) çãçã
Podemos multiplicar a Equação 4 por 3 para facilitar a eliminação:
6b + 117c = 9 (Equação 6) çã
Subtraímos a Equação 5 da Equação 6:
(6b + 117c) - (6b + 26c) = 9 - 4
91c = 5
c = 591

Passo 7

Agora que encontramos c, substituímos na Equação 4 para encontrar b:
2b + 39(591) = 3
2b + 19591 = 3
2b = 3 - 19591 = 27391 - 19591 = 7891
b = 7891 div 2 = 3991

Passo 8

Agora, substituímos b e c na expressão que encontramos para a:
a = 1 - b - 9c = 1 - 3991 - 9(591)
a = 1 - 3991 - 4591 = 9191 - 8491 = 791 = 113

Resposta

As coordenadas do vetor i + j + k na base formada por u, v e w são:
( 113, 3991, 591 )

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