Os planos pi1: y+z=0 e pi2: 4 x+y-z+3=0 se interceptam na reta r dada. Qual das alternativas representa uma equação da reta r ?
a) r: X=(0,-32, 32)+lambda(0,1,1) para lambda in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma equação da reta de interseção entre dois planos: e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a interseção de planos e como encontrar a equação de uma reta a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos é sempre uma reta, a menos que os planos sejam paralelos ou coincidentes. Aqui, como temos duas equações de planos diferentes, sabemos que elas se interceptam numa reta.

Passo 3

Para encontrar a equação da reta de interseção, precisamos determinar um ponto que está em ambos os planos e um vetor diretor da reta.

Passo 4

Vamos começar encontrando um ponto que satisfaz as duas equações dos planos. Podemos fazer isso escolhendo um valor para uma das variáveis e resolvendo as equações para as outras duas.
Vamos supor que y + z = 0 4(0) + y - z + 3 = 0 :
y - z + 3 = 0 implies y - z = -3
Simplificando a segunda equação:
(y + z) + (y - z) = 0 + (-3) implies 2y = -3 implies y = -32
Agora, usando a primeira equação -32 + z = 0 implies z = 32 , podemos somar as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, um ponto na reta de interseção é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta. Para isso, podemos usar os vetores normais dos planos e calcular o produto vetorial entre eles.
O vetor normal do primeiro plano n1 times n2 = i & j & k 0 & 1 & 1 4 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(0 cdot (-1) - 1 cdot 4) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 4) é n1 times n2 = i(-1 -1) - j(0 -4) + k(0 -4) = i(-2) + j(4) + k(-4) e o vetor normal do segundo plano é .
Calculando o produto vetorial :
Simplificando:
Portanto, o vetor diretor é . Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2, ficando .

Passo 6

Com o ponto r: x = 0 + lambda cdot 1 y = -32 + lambda cdot (-2) z = 32 + lambda cdot 2 , lambda in R e o vetor diretor r: X = (0, -32, 32) + lambda (1, -2, 2), lambda in R , podemos escrever a equação paramétrica da reta :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta r: X = (0, -32, 32) + lambda (1, -2, 2), lambda in R é:

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