Os planos e se interceptam na reta dada. Qual das alternativas representa uma equação da reta ?
a) para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma equação da reta de interseção entre dois planos: e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a interseção de planos e como encontrar a equação de uma reta a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos é sempre uma reta, a menos que os planos sejam paralelos ou coincidentes. Aqui, como temos duas equações de planos diferentes, sabemos que elas se interceptam numa reta.
Passo 3
Para encontrar a equação da reta de interseção, precisamos determinar um ponto que está em ambos os planos e um vetor diretor da reta.
Passo 4
Vamos começar encontrando um ponto que satisfaz as duas equações dos planos. Podemos fazer isso escolhendo um valor para uma das variáveis e resolvendo as equações para as outras duas.
Vamos supor que :
Simplificando a segunda equação:
Agora, usando a primeira equação , podemos somar as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, um ponto na reta de interseção é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta. Para isso, podemos usar os vetores normais dos planos e calcular o produto vetorial entre eles.
O vetor normal do primeiro plano é e o vetor normal do segundo plano é .
Calculando o produto vetorial :
Simplificando:
Portanto, o vetor diretor é . Podemos simplificar esse vetor dividindo por -2, ficando .
Passo 6
Com o ponto r: x = 0 + lambda cdot 1 y = -32 + lambda cdot (-2) z = 32 + lambda cdot 2 , lambda in R e o vetor diretor r: X = (0, -32, 32) + lambda (1, -2, 2), lambda in R , podemos escrever a equação paramétrica da reta :
Simplificando:
Resposta
A equação da reta r: X = (0, -32, 32) + lambda (1, -2, 2), lambda in R é: