Suponha que A B e A C sejam L.I… Como devem ser o escalares x e y de modo que o vetor AD=x AB+y AC seja paralelo ao vetor AB, mas de sentido contrário?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois vetores, AB e AC, que são linearmente independentes (L.I.). Queremos encontrar os escalares x e y de forma que o vetor AD = x AB + y AC seja paralelo ao vetor AB, mas com sentido contrário.

Passo 2

Quando dizemos que dois vetores são paralelos, significa que um é um múltiplo escalar do outro. Além disso, se queremos que tenham sentidos opostos, o escalar que relaciona os dois vetores deve ser negativo.
Portanto, podemos escrever:
AD = -k AB
onde k é um número positivo.

Passo 3

Igualando as duas expressões para AD, temos:
x AB + y AC = -k AB

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para agrupar os vetores similares:
x AB + y AC + k AB = 0
(x + k) AB + y AC = 0

Passo 5

Como AB e AC são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam iguais a zero:
x + k = 0 y = 0

Passo 6

Resolvendo as equações:
x = -k y = 0

Resposta

Os escalares devem ser x = -k e y = 0, onde k é um número positivo. Se considerarmos k = 1 para simplificar, temos x = -1 e y = 0. Portanto, AD = -AB.

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