Considere um pêndulo de 2 metros de comprimento na lua ao qual é dado um deslocamento angular inicial de 0,2 rad e velocidade inicial de zero. Calcule a velocidade angular máxima e a aceleração angular máxima do pêndulo (note que a aceleração da gravidade na lua terrestre é g_{m}=g / 6, onde g é a aceleração da gravidade da Terra).

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo de comprimento l=2 m na Lua, com deslocamento angular inicial \theta_{0}=0,2 rad e velocidade inicial nula. A Lua tem g_{m}=g/6, com g=9,81 m/ s^{2}. Precisamos encontrar a velocidade angular máxima \omega_{\max} (quando passa pelo ponto de equilíbrio) e a aceleração angular máxima \alpha_{\max} (no ponto de amplitude).

Passo 2

Primeiro, calculamos numericamente a gravidade lunar:
g_{m}=\frac{g}{6}=\frac{9,81}{6}\approx1,635\text{ m/s}^2.

Passo 3

Para \omega_{\max}, usamos conservação de energia. A energia potencial gravitacional no extremo \theta_{0}
\Delta U = m\,g_{m}\,l\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr)
vira energia cinética rotacional no equilíbrio:
\tfrac12\,I\,\omega_{\max}^{2}=\Delta U,
com I=m\,l^{2} (aprox. massa pontual). Logo
\tfrac12\,m\,l^{2}\,\omega_{\max}^{2}=m\,g_{m}\,l\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr).

Passo 4

Cancelando m e isolando \omega_{\max}:
\omega_{\max}^{2} =\frac{2\,g_{m}}{l}\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr), \qquad \omega_{\max} =\sqrt{\frac{2\,g_{m}}{l}\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr)}.
Substituindo g_{m}\approx1,635, l=2 e \theta_{0}=0,2:
\omega_{\max} =\sqrt{\frac{2\cdot1,635}{2}\bigl(1-\cos0,2\bigr)} =\sqrt{1,635\,(1-0,98007)} \approx\sqrt{0,0326} \approx0,18\text{ rad/s}.

Passo 5

Para \alpha_{\max}, usamos a equação de movimento
\theta'' + \frac{g_{m}}{l}\,\sin\theta = 0.
No extremo \theta=\theta_{0} a velocidade é zero e a magnitude da aceleração angular é máxima:
\alpha_{\max} =\Bigl|\theta''\Bigr| =\frac{g_{m}}{l}\,\bigl|\sin\theta_{0}\bigr|.

Passo 6

Substituindo g_{m}\approx1,635, l=2 e \theta_{0}=0,2:
\alpha_{\max} =\frac{1,635}{2}\,\sin0,2 \approx0,8175\cdot0,19867 \approx0,16\text{ rad/s}^2.

Resposta

\omega_{\max}\approx0,18 rad/s
\alpha_{\max}\approx0,16 rad/ s^{2}

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