Determinar as soluções para as equações diferenciais dos Problemas 11-15.
y^{\prime}+y \operatorname{cotg} x=\cos x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' + y \cot x = \cos x
que é uma ODE linear no formato
y' + P(x)\,y = Q(x),
com P(x)=\cot x e Q(x)=\cos x. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \cot x\,dx\Bigr).
Como \int \cot x\,dx = \ln|\sin x|, temos
\mu(x) = e^{\ln|\sin x|} = |\sin x|.
Escolhendo o sinal de \sin x para manter a solução geral, basta usar
\mu(x)=\sin x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial por \mu(x)=\sin x:
\sin x\,y' + y\,\sin x\,\cot x = \sin x\,\cos x.
Como \sin x\,\cot x = \cos x, o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto y\sin x:
\frac{d}{dx}\bigl(y\sin x\bigr) = \sin x\,\cos x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(y\sin x\bigr)\,dx = \int \sin x\,\cos x\,dx.
O lado esquerdo vira y\sin x. No direito, usamos a substituição u=\sin x, du=\cos x\,dx, obtendo
\int \sin x\,\cos x\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\sin^2 x}{2} + C.
Logo
y\sin x = \frac{\sin^2 x}{2} + C.

Passo 5

Isolamos y:
y = \frac{\frac{\sin^2 x}{2} + C}{\sin x} = \frac{1}{2}\,\sin x + C\,\csc x.
Essa é a solução geral da ODE.

Resposta

y(x) = \frac{1}{2}\,\sin x + C\,\csc x,
com C constante arbitrária.

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