( 0,5 \mathrm{pts} ) Considere a função abaixo e responda:
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2-x+e^{(x-2)} \cdot \operatorname{sen}(x-2) & , \text { se } x<2 \\\ b & , \text { se } x=2 \\\ \frac{\operatorname{sen}^{2}(x-2)}{2-x} & , \text { se } x>2 \end{array}\right.
(a) Para que valores de b a função f é contínua em 2 ?
(b) Para os valores de b encontrados no item anterior, f é diferenciável em 2 ?

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\begin{cases} 2 - x + e^{\,x-2}\,\sin(x-2), & x<2,\\\ b, & x=2,\\\ \dfrac{\sin^2(x-2)}{2-x}, & x>2, \end{cases}
e pede (a) os valores de b que garantem a continuidade em x=2 e (b) se para esses valores f é diferenciável em 2. Vamos usar limites laterais para a continuidade e quociente de diferença para a derivabilidade.

Passo 2

Calcular o limite à esquerda em x=2. Seja h=x-2, com h\to0^-. Então para x<2
f(2+h)=2-(2+h)+e^{h}\sin h=-h+e^{h}\sin h.
Logo
\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{h\to0^-}\bigl(-h+e^{h}\sin h\bigr) =\lim_{h\to0^-}(-h)+\lim_{h\to0^-}e^{h}\sin h =0+1\cdot0=0.

Passo 3

Calcular o limite à direita em x=2. Para x>2 escreva h=x-2>0:
f(2+h)=\frac{\sin^2 h}{2-(2+h)}=\frac{\sin^2 h}{-h} =-\frac{\sin^2 h}{h}.
Como \sin^2h/h\to0 quando h\to0^+, vem
\lim_{x\to2^+}f(x)=0.

Passo 4

Para f ser contínua em x=2 é preciso
b=f(2)=\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=0.
Logo b=0.

Passo 5

Agora, com b=0, calcular a derivada à esquerda em 2:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{-h+e^{h}\sin h-0}{h} =-1+\frac{e^{h}\sin h}{h}.
Quando h\to0^-,
\tfrac{e^{h}\sin h}{h}\to1,
portanto
f'_-(2)=\lim_{h\to0^-}\Bigl(-1+\frac{e^{h}\sin h}{h}\Bigr) = -1 + 1 = 0.

Passo 6

Calcular a derivada à direita em 2:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{-\sin^2h/h}{h} =-\frac{\sin^2h}{h^2}.
Quando h\to0^+, \sin^2h/h^2\to1, logo
f'_+(2)=\lim_{h\to0^+}\Bigl(-\frac{\sin^2h}{h^2}\Bigr) =-1.

Passo 7

Como f'_-(2)=0\neq -1=f'_+(2), a derivada não existe em x=2.

Resposta

(a) b=0
(b) Para b=0, f não é diferenciável em x=2.

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