e pede (a) os valores de b que garantem a continuidade em x=2 e (b) se para esses valores f é diferenciável em 2. Vamos usar limites laterais para a continuidade e quociente de diferença para a derivabilidade.
Passo 2
Calcular o limite à esquerda em x=2. Seja h=x-2, com h\to0^-. Então para x<2
f(2+h)=2-(2+h)+e^{h}\sin h=-h+e^{h}\sin h.
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\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{h\to0^-}\bigl(-h+e^{h}\sin h\bigr) =\lim_{h\to0^-}(-h)+\lim_{h\to0^-}e^{h}\sin h =0+1\cdot0=0.
Passo 3
Calcular o limite à direita em x=2. Para x>2 escreva h=x-2>0: