Considere a permutação ccccccccc1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 8 & 7 & 3 & 2 & 5 & 9 & 6 & 1 & 4
a. Escreva s como produto de transposições.
b. s é uma permutação par ou ímpar?
c. É possível escrever s como produto de 10 transposições?
d. Complete com transposições de maneira conveniente para obter a igualdade
s= (2,5)(2,3)(1,4)(7,9).
e. É possível escrever s como produto de apenas 2 transposições?

Passo 1

O enunciado nos dá a permutação em notação de duas linhas. O conteúdo aqui é permutações: a gente vai transformar em notação de ciclos disjuntos, depois em produto de transposições, discutir paridade e responder os itens.

Passo 2

Aplicamos s a cada elemento de 1 a 9 para montar os ciclos disjuntos. Começando em 1: 1→8→1 dá (1 8). Em 2: 2→7→6→9→4→2 dá (2 7 6 9 4). Os elementos 3 e 5 são fixos. Logo em notação de ciclos disjuntos: s=(1 8)(2 7 6 9 4).

Passo 3

Para escrever cada ciclo como produto de transposições usamos a regra (a1 a2 ak)=(a1 ak)(a1 ak-1)(a1 a2). Assim
(1,8) e(2,7,6,9,4)=(2,4)(2,9)(2,6)(2,7)

Passo 4

Logo uma decomposição em transposições é
s=(1,8)(2,4)(2,9)(2,6)(2,7)

Passo 5

Cada transposição é ímpar, então s é ímpar porque usamos 5 transposições. A paridade não muda se reescrevermos de outra forma.
Não dá para reescrever s como produto de 10 transposições, pois 10 é par e s é ímpar (o número de transposições numa decomposição tem paridade invariável).

Passo 6

Para o item d chamemos q=(2 5)(2 3)(1 4)(7 9). Calculamos q em notação de ciclos e depois q^{-1}, achando
q=(1,4)(2,3,5)(7,9), q^-1=(1,4)(2,5,3)(7,9)

Passo 7

Definimos T=s\circ q^{-1}, encontramos em ciclos T=(1 2 5 3 7 4 8)(6 9) e, usando a regra dos ciclos,
(1,2,5,3,7,4,8)=(1,8)(1,4)(1,7)(1,3)(1,5)(1,2) e(6,9)

Passo 8

Então s=T\circ q, ou seja
s=(1,8)(1,4)(1,7)(1,3)(1,5)(1,2)(6,9);(2,5)(2,3)(1,4)(7,9)

Passo 9

Não é possível escrever s como produto de apenas 2 transposições porque qualquer produto de 2 transposições seria par, e s é ímpar.

Resposta

a) s = (1 8)(2 4)(2 9)(2 6)(2 7)
b) ímpar
c) Não, porque 10 é par e s é ímpar (paridade é invariável)
d) Podemos completar com T = (1 8)(1 4)(1 7)(1 3)(1 5)(1 2)(6 9) de modo que
s = (1 8)(1 4)(1 7)(1 3)(1 5)(1 2)(6 9) (2 5)(2 3)(1 4)(7 9)
e) Não, pois 2 transposições gerariam permutação par, e s é ímpar.

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