Considere a permutação
a. Escreva
como produto de transposições.
b.
é uma permutação par ou ímpar?
c. É possível escrever
como produto de 10 transposições?
d. Complete com transposições de maneira conveniente para obter a igualdade
.
e. É possível escrever
como produto de apenas 2 transposições?
a. Escreva
b.
c. É possível escrever
d. Complete com transposições de maneira conveniente para obter a igualdade
e. É possível escrever
Passo 1
O enunciado nos dá a permutação em notação de duas linhas. O conteúdo aqui é permutações: a gente vai transformar em notação de ciclos disjuntos, depois em produto de transposições, discutir paridade e responder os itens.
Passo 2
Aplicamos s a cada elemento de 1 a 9 para montar os ciclos disjuntos. Começando em 1: 1→8→1 dá (1 8). Em 2: 2→7→6→9→4→2 dá (2 7 6 9 4). Os elementos 3 e 5 são fixos. Logo em notação de ciclos disjuntos: s=(1 8)(2 7 6 9 4).
Passo 3
Para escrever cada ciclo como produto de transposições usamos a regra
. Assim
Passo 4
Logo uma decomposição em transposições é
Passo 5
Cada transposição é ímpar, então s é ímpar porque usamos 5 transposições. A paridade não muda se reescrevermos de outra forma.
Não dá para reescrever s como produto de 10 transposições, pois 10 é par e s é ímpar (o número de transposições numa decomposição tem paridade invariável).
Não dá para reescrever s como produto de 10 transposições, pois 10 é par e s é ímpar (o número de transposições numa decomposição tem paridade invariável).
Passo 6
Para o item d chamemos q=(2 5)(2 3)(1 4)(7 9). Calculamos q em notação de ciclos e depois q^{-1}, achando
Passo 7
Definimos T=s\circ q^{-1}, encontramos em ciclos T=(1 2 5 3 7 4 8)(6 9) e, usando a regra dos ciclos,
Passo 8
Então s=T\circ q, ou seja
Passo 9
Não é possível escrever s como produto de apenas 2 transposições porque qualquer produto de 2 transposições seria par, e s é ímpar.
Resposta
a) s = (1 8)(2 4)(2 9)(2 6)(2 7)
b) ímpar
c) Não, porque 10 é par e s é ímpar (paridade é invariável)
d) Podemos completar com T = (1 8)(1 4)(1 7)(1 3)(1 5)(1 2)(6 9) de modo que
s = (1 8)(1 4)(1 7)(1 3)(1 5)(1 2)(6 9) (2 5)(2 3)(1 4)(7 9)
e) Não, pois 2 transposições gerariam permutação par, e s é ímpar.
b) ímpar
c) Não, porque 10 é par e s é ímpar (paridade é invariável)
d) Podemos completar com T = (1 8)(1 4)(1 7)(1 3)(1 5)(1 2)(6 9) de modo que
s = (1 8)(1 4)(1 7)(1 3)(1 5)(1 2)(6 9) (2 5)(2 3)(1 4)(7 9)
e) Não, pois 2 transposições gerariam permutação par, e s é ímpar.