Seja G um grupo e x in G, x neq e tal que x^6=x. Considere o conjunto H= H.
a. Quantos elementos tem o(x) ? Justifique a resposta.
b. Determine H. Justifique a resposta.
c. H ? Justifique a resposta.
d. é cíclico? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo, xin G diferente de e satisfaz x^6 = x. Vamos usar teoria de ordem de elemento e subgrupos cíclicos para resolver.

Passo 2

Como x^6 = x, multiplica-se ambos os lados por x^-1 usando a propriedade de cancelamento em grupo e obtemos
x^6 x^-1 = x x^-1
que simplifica para
x^5 = e
Isso mostra que alguma potência de x é a identidade.

Passo 3

Pela definição, a ordem de x, denotada o(x), é o menor inteiro positivo tal que x^n = e. Aqui já vimos que x^5 = e e como xneq e, não pode ser menor que 5. Logo o(x)=5.

Passo 4

O conjunto H = x, x^2, x^3, ldots é justamente o conjunto de todas as potências de x. Como x^5=e e as potências se repetem a partir de então, temos
H = x, x^2, x^3, x^4, x^5=e
Portanto |H| = 5.

Passo 5

Para verificar que H é subgrupo de G, observamos que: i) e = x^5in H; ii) se x^k, x^lin H, então x^k x^l = x^k+lin H; iii) se x^kin H, então (x^k)^-1 = x^-k = x^5-kin H. Assim H<= G.

Passo 6

Como H é gerado por x, isto é, H = lang<= xrang<=, concluímos que H é cíclico.

Resposta

a) |H| = 5; b) o(x) = 5; c) Sim, H é subgrupo de G; d) Sim, H é cíclico (gerado por x).

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