Seja
um grupo e
tal que
. Considere o conjunto
.
a. Quantos elementos tem
? Justifique a resposta.
b. Determine
. Justifique a resposta.
c.
? Justifique a resposta.
d.
é cíclico? Justifique a resposta.
a. Quantos elementos tem
b. Determine
c.
d.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo,
diferente de
satisfaz
. Vamos usar teoria de ordem de elemento e subgrupos cíclicos para resolver.
Passo 2
Como
, multiplica-se ambos os lados por
usando a propriedade de cancelamento em grupo e obtemos
que simplifica para
Isso mostra que alguma potência de
é a identidade.
Passo 3
Pela definição, a ordem de
, denotada
, é o menor inteiro positivo tal que
. Aqui já vimos que
e como
, não pode ser menor que 5. Logo
.
Passo 4
O conjunto
é justamente o conjunto de todas as potências de
. Como
e as potências se repetem a partir de então, temos
Portanto
.
Passo 5
Para verificar que
é subgrupo de
, observamos que: i)
; ii) se
, então
; iii) se
, então
. Assim
.
Passo 6
Como
é gerado por
, isto é,
, concluímos que
é cíclico.
Resposta
a) |H| = 5; b) o(x) = 5; c) Sim, H é subgrupo de G; d) Sim, H é cíclico (gerado por x).