Seja
. Seja
.
a. Mostre que
é um subgrupo de
.
b. Determine
e todas as classes laterais de
em
.
c. Determine o subgrupo
.
a. Mostre que
b. Determine
c. Determine o subgrupo
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o grupo aditivo
e o conjunto
. Queremos mostrar que é subgrupo, encontrar o índice
e suas classes laterais, e calcular a interseção
.
Passo 2
Para mostrar que
é subgrupo de
, vamos usar o teste de subgrupo em grupos abelianos. Primeiro,
. Depois, se
e
são de
, então
e também
Passo 3
Portanto,
satisfaz fecho, existe inverso e contém a identidade, logo é subgrupo.
Passo 4
Para determinar o índice e as classes laterais, lembramos que em
as classes de
são
onde podemos tomar
Passo 5
Logo as classes laterais são
.
Passo 6
Para o subgrupo
, note que um inteiro
pertence à interseção se e só se
e
. Isso significa que o menor múltiplo comum de
e
, que chamamos de
, divide
. Assim
onde
Resposta
a)
é subgrupo de
.
b) O índice é e as classes laterais são
.
c)
b) O índice é
c)