Seja m in N, m >= 2. Seja m Z=m z ; z in Z.
a. Mostre que m Z é um subgrupo de Z.
b. Determine (Z: m Z) e todas as classes laterais de m Z em Z.
c. Determine o subgrupo m Z cap n Z.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o grupo aditivo Z e o conjunto mZ=m z; zinZ. Queremos mostrar que é subgrupo, encontrar o índice (Z:mZ) e suas classes laterais, e calcular a interseção mZcap nZ.

Passo 2

Para mostrar que mZ é subgrupo de Z, vamos usar o teste de subgrupo em grupos abelianos. Primeiro, 0= mcdot 0in mZ. Depois, se a=m z1 e b=m z2 são de mZ, então
a+b = m z1 + m z2 = m(z1+z2)in mZ,
e também
-a = -m z1 = m(-z1)in mZ

Passo 3

Portanto, mZ satisfaz fecho, existe inverso e contém a identidade, logo é subgrupo.

Passo 4

Para determinar o índice e as classes laterais, lembramos que em Z as classes de mZ são
k + mZ = k + m z; zinZ,
onde podemos tomar k=0,1,2,dots,m-1. São exatamente m classes disjuntas, de modo que
(Z:mZ) = m

Passo 5

Logo as classes laterais são 0 + mZ,1 + mZ,dots,(m-1)+mZ.

Passo 6

Para o subgrupo mZcap nZ, note que um inteiro x pertence à interseção se e só se mmid x e nmid x. Isso significa que o menor múltiplo comum de m e n, que chamamos de ell=lcm(m,n), divide x. Assim
mZcap nZ = ell,Z,
onde ell=lcm(m,n).

Resposta

a) mZ é subgrupo de Z.
b) O índice é (Z:mZ)=m e as classes laterais são
0+mZ,1+mZ,dots,(m-1)+mZ.
c) mZcap nZ=lcm(m,n),Z

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