Considere a permutação s=(1,4,7)(3,7)(2,5,8,1,3,9) in S9.
a. Escreva s como produto de ciclos disjuntos.
b. s in A9 ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a permutação s=(1,4,7)(3,7)(2,5,8,1,3,9) em S9, e queremos escrevê-la em ciclos disjuntos e verificar se sin A9. Vamos usar a composição de ciclos (da direita para a esquerda) e o conceito de paridade de permutação.

Passo 2

Para organizar o cálculo, definimos os ciclos intermediários:
alpha=(2,5,8,1,3,9), beta=(3,7), gamma=(1,4,7)
Assim s=gammacircbetacircalpha, isto é, aplicamos primeiro alpha, depois beta e por fim gamma.

Passo 3

Calculamos s(x)=gamma(beta(alpha(x))) para cada xin1,dots,9. Por exemplo, para x=2:
alpha(2)=5, beta(5)=5, gamma(5)=5,logo s(2)=5
Fazendo isso para todos, obtemos a sequência
2to5to8to4to7to3to9to2,
enquanto 1 e 6 ficam fixos.

Passo 4

Da sequência acima vemos que o único ciclo não trivial é
(2,5,8,4,7,3,9),
e os pontos 1 e 6 são fixos, que normalmente não escrevemos.

Passo 5

Para decidir se sin A9, lembramos que um ciclo de comprimento k é produto de k-1 transposições, então seu sinal é (-1)^k-1. Como aqui k=7, temos

ou seja, sgn(s)=(-1)^7-1=(-1)^6=+1, é par e pertence a s.

Resposta

s=(2,5,8,4,7,3,9), e como é uma 7-ciclo (par), tem , logo sgn(s)=+1.

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