Considere a permutação sigma=(1,5,3,2)(6,2,7,3)(1,3,4)(1,6,8)(5,8).
a. Escreva sigma como produto de ciclos disjuntos.
b. Utilize a resposta do item anterior para dizer a ordem de sigma. Justifique a resposta.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos decompor a permutação sigma=(1,5,3,2)(6,2,7,3)(1,3,4)(1,6,8)(5,8) em ciclos disjuntos e então calcular a ordem de sigma. Conteúdo: permutações, ciclos disjuntos e ordem via mmc de comprimentos de ciclos.

Passo 2

Para encontrar a forma em ciclos disjuntos, aplicamos as ciclos da direita para a esquerda em cada elemento de 1 a 8. Ao calcular sigma(i) para cada i, obtemos: sigma(1)=1, sigma(2)=7, sigma(7)=2, sigma(3)=4, sigma(4)=5, sigma(5)=6, sigma(6)=8, sigma(8)=3.

Passo 3

Da relação acima, extraímos os ciclos: (1) (fixo), (2,7) e (3,4,5,6,8). Descartamos o ciclo trivial e escrevemos sigma=(2,7)(3,4,5,6,8).

Passo 4

Para achar a ordem de sigma, usamos que a ordem de uma permutação é o mmc dos comprimentos dos ciclos disjuntos. Aqui os comprimentos são 2 e 5, logo mmc(2,5)=10.

Resposta

sigma = (2,7)(3,4,5,6,8), ordem de sigma é 10.

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