Mostre que o produto de dois
-ciclos é uma permutação par.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado dois ciclos de comprimento
, seu produto é sempre uma permutação par. O conteúdo aqui envolve o conceito de assinatura (ou paridade) de permutações e a decomposição de ciclos em transposições.
Passo 2
Vamos usar o fato de que um
-ciclo pode ser escrito como produto de
transposições. De fato, se temos o ciclo
, então
Passo 3
Cada uma dessas transposições tem assinatura
. Como há
transposições, a assinatura de um
-ciclo é
Passo 4
Agora, ao compor dois
-ciclos, a assinatura do produto é o produto das assinaturas individuais:
Passo 5
Como a assinatura do produto é
, concluímos que a composição de dois
-ciclos é uma permutação par.
Resposta
O produto de dois
-ciclos é par, pois se decompõe em
transposições, um número par, e sua assinatura é
.