Mostre que o produto de dois r-ciclos é uma permutação par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado dois ciclos de comprimento r, seu produto é sempre uma permutação par. O conteúdo aqui envolve o conceito de assinatura (ou paridade) de permutações e a decomposição de ciclos em transposições.

Passo 2

Vamos usar o fato de que um r-ciclo pode ser escrito como produto de r-1 transposições. De fato, se temos o ciclo (a1,a2,dots,ar), então
(a1,a2,dots,ar) = (a1,ar),(a1,ar-1)cdots(a1,a2)

Passo 3

Cada uma dessas transposições tem assinatura -1. Como há r-1 transposições, a assinatura de um r-ciclo é
sgnl((a1,dots,ar)r) = (-1)^r-1

Passo 4

Agora, ao compor dois r-ciclos, a assinatura do produto é o produto das assinaturas individuais:
(-1)^r-1times(-1)^r-1 = (-1)^2(r-1) = 1

Passo 5

Como a assinatura do produto é +1, concluímos que a composição de dois r-ciclos é uma permutação par.

Resposta

O produto de dois r-ciclos é par, pois se decompõe em 2(r-1) transposições, um número par, e sua assinatura é +1.

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