Mostre que se k é número ímpar, então k é um ciclo e que se é par, então é o produto de dois ciclos disjuntos.

Passo 1

O enunciado diz que temos um k-ciclo $(a_1,a_2,\dots,a_k)$ e queremos ver o que acontece quando elevamos esse ciclo ao quadrado. O conteúdo aqui é teoria de permutações: entender a ação de potências de ciclos e como elas se decompõem em ciclos disjuntos.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar como um ciclo age: se $(a_1,a_2,\dots,a_k)$ é nosso ciclo, então ele envia $a_i$ em $a_{i+1}$ (índices tomados módulo $k$). Ao aplicar o ciclo duas vezes, cada elemento anda dois passos. Logo, $(a_1,a_2,\dots,a_k)^2$ envia cada $a_i$ em $a_{i+2}$, de modo que estamos saltando de dois em dois dentro da lista $(a_1,a_2,\dots,a_k)$.

Passo 3

Se $k$ é ímpar, então o passo 2 é coprimo com $k$. Isso significa que, ao repetir esse “pular de 2 em 2”, a órbita de $a_1$ passa por todos os elementos antes de voltar a $a_1$. Logo, temos um único ciclo de comprimento $k$.

Passo 4

Se $k$ é par, então $\gcd(k,2)=2$, ou seja, o passo 2 só gera duas órbitas: começando em $a_1$ você visita $a_1,a_3,a_5,\dots,a_{k-1}$, e começando em $a_2$ você visita $a_2,a_4,a_6,\dots,a_k$. Essas são duas órbitas disjuntas, cada uma de tamanho $k/2$, e portanto $ (a_1,a_2,\dots,a_k)^2 $ se decompõe em dois ciclos disjuntos.

Resposta

Se k é ímpar, $(a_1,a_2,\dots,a_k)^2$ é um ciclo de comprimento k; se k é par, $(a_1,a_2,\dots,a_k)^2 = (a_1,a_3,a_5,\dots,a_{k-1}),(a_2,a_4,a_6,\dots,a_k)$.

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