Considere as permutações \sigma_{1}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 3 & 5 & 1 & 2 & 4\end{array}\right) e \sigma_{2}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3\end{array}\right) do grupo S_{5}. Determine uma solução x \in S_{5} da equação
\sigma_{1}^{-1} x \sigma_{1}=\sigma_{2}

Passo 1

O enunciado dá duas permutações em S_{5}:
\sigma_{1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 3 & 5 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}, \qquad \sigma_{2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 1 & 4 & 2 & 5 & 3\end{pmatrix},
e pede uma solução x\in S_{5} da equação
\sigma_{1}^{-1}\,x\,\sigma_{1}=\sigma_{2}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\sigma_{1} envia 1\mapsto 3, 2\mapsto 5, 3\mapsto 1, 4\mapsto 2, 5\mapsto 4.
\sigma_{2} envia 1\mapsto 1, 2\mapsto 4, 3\mapsto 2, 4\mapsto 5, 5\mapsto 3.
A tarefa é encontrar um x que satisfaça a igualdade acima.]

Passo 2

Isolamos x por operações com permutações (multiplicação em S_{5} é composição). Multiplicamos a equação à esquerda por \sigma_{1} e à direita por \sigma_{1}^{-1}:
\sigma_{1}^{-1}\,x\,\sigma_{1}=\sigma_{2} \quad\Longrightarrow\quad x\,\sigma_{1}=\sigma_{1}\,\sigma_{2} \quad\Longrightarrow\quad x=\sigma_{1}\,\sigma_{2}\,\sigma_{1}^{-1}.
Explicação curta: podemos multiplicar pela esquerda e direita porque todo elemento em S_{5} tem inverso; isso é igual à resolução de uma equação linear por inversos.

Passo 3

Vamos achar \sigma_{1}^{-1}. A maneira prática: inverter a imagem de cada elemento. Como \sigma_{1} tem 1\mapsto 3, fica \sigma_{1}^{-1}:3\mapsto1, etc. Montando:
\sigma_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 3 & 4 & 1 & 5 & 2\end{pmatrix}.
É útil também escrever em notação de ciclos. Para \sigma_{1} temos (vendo a ação dada):
\sigma_{1}=(1\;3)(2\;5\;4).
Invertendo cada ciclo (inverso de um ciclo é o ciclo na ordem inversa) obtemos
\sigma_{1}^{-1}=(1\;3)(2\;4\;5).
(Verificação rápida: da matriz acima, \sigma_{1}^{-1}(1)=3, \sigma_{1}^{-1}(2)=4, \sigma_{1}^{-1}(3)=1, \sigma_{1}^{-1}(4)=5, \sigma_{1}^{-1}(5)=2, consistente.)]

Passo 4

Escrevemos \sigma_{2} em notação de ciclos para facilitar a conjugação. Observando as imagens de \sigma_{2}:
\sigma_{2}=(2\;4\;5\;3),
porque 2\mapsto4\mapsto5\mapsto3\mapsto2 e 1 é ponto fixo.

Passo 5

Usamos a propriedade geral de conjugação: para g,\tau\in S_{n},
g\,\tau\,g^{-1}=(g(i_{1})\;g(i_{2})\;\dots\;g(i_{k}))
se \tau=(i_{1}\;i_{2}\;\dots\;i_{k}). Em palavras: conjugar um ciclo corresponde a renomear cada elemento do ciclo por g. Aqui g=\sigma_{1} e \tau=\sigma_{2}=(2\;4\;5\;3). Aplicamos:
calculemos \sigma_{1}(2),\sigma_{1}(4),\sigma_{1}(5),\sigma_{1}(3) usando a definição de \sigma_{1} dada no enunciado:
\sigma_{1}(2)=5,\qquad \sigma_{1}(4)=2,\qquad \sigma_{1}(5)=4,\qquad \sigma_{1}(3)=1.
Portanto, conjugando o ciclo:
\sigma_{1}\,(2\;4\;5\;3)\,\sigma_{1}^{-1}=(\;5\;2\;4\;1\;).

Passo 6

Assim obtemos
x=\sigma_{1}\,\sigma_{2}\,\sigma_{1}^{-1}=(5\;2\;4\;1).
Para ficar completamente claro, podemos escrever x também na forma two-line (imagem de cada elemento):
usando o ciclo (5\;2\;4\;1) temos as imagens
1\mapsto5,\quad 2\mapsto4,\quad 3\mapsto3,\quad 4\mapsto1,\quad 5\mapsto2,
ou seja
x=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 5 & 4 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (uma checada para ter certeza): calculemos \sigma_{1}^{-1}x\sigma_{1} sobre um elemento, por exemplo 2:
\sigma_{1}(2)=5, x(5)=2, \sigma_{1}^{-1}(2)=4; portanto (\sigma_{1}^{-1}x\sigma_{1})(2)=4, que é exatamente \sigma_{2}(2). Fazendo para os demais elementos dá a mesma correspondência, então a igualdade é satisfeita.

Resposta

x=(5\;2\;4\;1) \bigl(=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 5 & 4 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix}\bigr)]

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