Informações relevantes dadas no enunciado: \sigma_{1} envia 1\mapsto 3, 2\mapsto 5, 3\mapsto 1, 4\mapsto 2, 5\mapsto 4. \sigma_{2} envia 1\mapsto 1, 2\mapsto 4, 3\mapsto 2, 4\mapsto 5, 5\mapsto 3.
A tarefa é encontrar um x que satisfaça a igualdade acima.]
Passo 2
Isolamos x por operações com permutações (multiplicação em S_{5} é composição). Multiplicamos a equação à esquerda por \sigma_{1} e à direita por \sigma_{1}^{-1}:
Explicação curta: podemos multiplicar pela esquerda e direita porque todo elemento em S_{5} tem inverso; isso é igual à resolução de uma equação linear por inversos.
Passo 3
Vamos achar \sigma_{1}^{-1}. A maneira prática: inverter a imagem de cada elemento. Como \sigma_{1} tem 1\mapsto 3, fica \sigma_{1}^{-1}:3\mapsto1, etc. Montando:
se \tau=(i_{1}\;i_{2}\;\dots\;i_{k}). Em palavras: conjugar um ciclo corresponde a renomear cada elemento do ciclo por g. Aqui g=\sigma_{1} e \tau=\sigma_{2}=(2\;4\;5\;3). Aplicamos:
calculemos \sigma_{1}(2),\sigma_{1}(4),\sigma_{1}(5),\sigma_{1}(3) usando a definição de \sigma_{1} dada no enunciado:
Verificação rápida (uma checada para ter certeza): calculemos \sigma_{1}^{-1}x\sigma_{1} sobre um elemento, por exemplo 2: \sigma_{1}(2)=5, x(5)=2, \sigma_{1}^{-1}(2)=4; portanto (\sigma_{1}^{-1}x\sigma_{1})(2)=4, que é exatamente \sigma_{2}(2). Fazendo para os demais elementos dá a mesma correspondência, então a igualdade é satisfeita.