Seja E o conjunto dos números reais não negativos e * a operação sobre E definida por:
x * y=\frac{x+y}{1+x y}
a) Verifique se a operação * é associativa;
b) Verifique se ( E, * ) é um grupo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dado o conjunto E dos números reais não negativos, isto é E=[0,\infty).
  • É dada a operação * sobre E definida por
x * y=\frac{x+y}{1+x y}.
  • Perguntas:
    a) Verificar se a operação * é associativa (isto é, verificar se para todo x,y,z\in E vale (x*y)*z = x*(y*z)).
    b) Verificar se (E,*) é um grupo (isto implica checar fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para todos os elementos).
Informações relevantes que já podemos notar do enunciado:
  • O denominador 1+xy aparece na definição; como x,y\ge 0 temos xy\ge0 e então 1+xy\ge1>0, logo a operação está bem definida para todos x,y\in E (não há divisão por zero).
  • A resolução seguirá mostrando passo a passo cada verificação pedida.

Passo 2

Verificação de fechamento e observação sobre bem-definição (preparando para o grupo):
  • Bem-definição: para quaisquer x,y\in E temos 1+xy\ge1>0, então a fração \dfrac{x+y}{1+xy} faz sentido (denominador nunca zero).
  • Fechamento: para x,y\in E temos x+y\ge0 e 1+xy>0. Assim
x*y=\frac{x+y}{1+xy}\ge0,
ou seja x*y\in E. Portanto a operação fecha em E.

Passo 3

Preparação para provar associatividade: calcular explicitamente (x*y)*z.
  • Primeiro defina a := x*y. Então
a=\frac{x+y}{1+xy}.
  • Agora compute (x*y)*z = a*z. Pela definição,
a*z=\frac{a+z}{1+a z}.
  • Substituindo a=\dfrac{x+y}{1+xy} e simplificando cuidadosamente:
\frac{a+z}{1+a z} = \frac{\dfrac{x+y}{1+xy}+z}{1+\dfrac{x+y}{1+xy}\,z}.
  • Colocando tudo sobre o mesmo denominador 1+xy:
\frac{a+z}{1+a z} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}.
(Detalhe das etapas: numerador \dfrac{x+y}{1+xy}+z = \dfrac{x+y+z+xyz}{1+xy}. Denominador 1+\dfrac{x+y}{1+xy}z = \dfrac{1+xy+xz+yz}{1+xy}. A divisão dos dois quocientes dá o resultado acima.)

Passo 4

Calcular x*(y*z) e comparar com o resultado do passo anterior.
  • Defina b := y*z. Então
b=\frac{y+z}{1+yz}.
  • Compute x*b = x*(y*z):
x*b=\frac{x+b}{1+xb} = \frac{x+\dfrac{y+z}{1+yz}}{1+x\dfrac{y+z}{1+yz}} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz},
usando as mesmas manipulações algébricas (colocar numerador e denominador sobre 1+yz e dividir).
  • Observação: o resultado coincide exatamente com o obtido em (x*y)*z.

Passo 5

Conclusão sobre associatividade:
  • Como para quaisquer x,y,z\in E obtivemos
(x*y)*z = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz} = x*(y*z),
a operação * é associativa em E.

Passo 6

Definição e verificação do elemento neutro (identidade) na estrutura:
  • Lembrando a definição: um elemento e\in E é identidade se para todo x\in E vale x*e=x e e*x=x.
  • Procure e tal que para todo x\in E
\frac{x+e}{1+xe}=x.
  • Multiplicando ambos os lados por 1+xe:
x+e = x(1+xe) = x + x^2 e.
  • Subtraindo x de ambos os lados:
e = x^2 e.
  • Isso dá e(1-x^2)=0 para todo x\in E. Para essa igualdade valer para todo x, a única possibilidade é e=0 (porque nem todos os x têm x^2=1). Verifique diretamente e=0:
x*0=\frac{x+0}{1+0}=x,\qquad 0*x=\frac{0+x}{1+0}=x.
  • Portanto 0 é o elemento identidade em E, e é único.

Passo 7

Verificação da existência de inversos (elementos inversíveis) e conclusão sobre ser grupo:
  • Definição: um elemento x\in E tem inverso se existe y\in E tal que x*y=0 (onde 0 é o neutro que encontramos).
  • Escreva a equação para inverso y:
\frac{x+y}{1+xy}=0.
  • Como denominador é estritamente positivo, a igualdade exige que o numerador seja zero:
x+y=0.
  • Como x,y\in E=[0,\infty), a soma x+y=0 só pode ocorrer se x=0 e y=0. Logo:
    • O elemento 0 tem inverso (que é ele mesmo).
    • Todo x>0 não possui y\in E satisfazendo x*y=0 (porque exigiria y=-x<0, fora de E).
  • Conclusão: nem todos os elementos de E têm inverso em E.

Passo 8

Síntese final (verificando axiomas de grupo):
  • Fechamento: verdadeiro (Passo 2).
  • Associatividade: verdadeira (Passos 3–5).
  • Existência de identidade: verdadeiro, elemento identidade é 0 (Passo 6).
  • Existência de inversos para todos os elementos: falso (Passo 7), apenas 0 é invertível.
  • Portanto (E,*) não é um grupo porque a propriedade “todo elemento tem inverso” falha.

Resposta

a) A operação * é associativa.
b) (E,*) não é um grupo (há identidade 0, mas elementos x>0 não têm inverso em E).

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