Seja
o conjunto dos números reais não negativos e
a operação sobre
definida por:
a) Verifique se a operação * é associativa;
b) Verifique se (
) é um grupo.
b) Verifique se (
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dado o conjunto
dos números reais não negativos, isto é . - É dada a operação
sobre definida por
- Perguntas:
a) Verificar se a operaçãoé associativa (isto é, verificar se para todo vale ).
b) Verificar seé um grupo (isto implica checar fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para todos os elementos).
Informações relevantes que já podemos notar do enunciado:
- O denominador
aparece na definição; como temos e então , logo a operação está bem definida para todos (não há divisão por zero). - A resolução seguirá mostrando passo a passo cada verificação pedida.
Passo 2
Verificação de fechamento e observação sobre bem-definição (preparando para o grupo):
- Bem-definição: para quaisquer
temos , então a fração faz sentido (denominador nunca zero). - Fechamento: para
temos e . Assim
ou seja
. Portanto a operação fecha em
.
Passo 3
Preparação para provar associatividade: calcular explicitamente
.
- Primeiro defina
. Então
- Agora compute
. Pela definição,
- Substituindo
e simplificando cuidadosamente:
- Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
(Detalhe das etapas: numerador
. Denominador
. A divisão dos dois quocientes dá o resultado acima.)
Passo 4
Calcular
e comparar com o resultado do passo anterior.
- Defina
. Então
- Compute
:
usando as mesmas manipulações algébricas (colocar numerador e denominador sobre
e dividir).
- Observação: o resultado coincide exatamente com o obtido em
.
Passo 5
Conclusão sobre associatividade:
- Como para quaisquer
obtivemos
a operação
é associativa em
.
Passo 6
Definição e verificação do elemento neutro (identidade) na estrutura:
- Lembrando a definição: um elemento
é identidade se para todo vale e . - Procure
tal que para todo
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Isso dá
para todo . Para essa igualdade valer para todo , a única possibilidade é (porque nem todos os têm ). Verifique diretamente :
- Portanto
é o elemento identidade em , e é único.
Passo 7
Verificação da existência de inversos (elementos inversíveis) e conclusão sobre ser grupo:
- Definição: um elemento
tem inverso se existe tal que (onde é o neutro que encontramos). - Escreva a equação para inverso
:
- Como denominador é estritamente positivo, a igualdade exige que o numerador seja zero:
- Como
, a soma só pode ocorrer se e . Logo: - O elemento
tem inverso (que é ele mesmo). - Todo
não possui satisfazendo (porque exigiria , fora de ).
- O elemento
- Conclusão: nem todos os elementos de
têm inverso em .
Passo 8
Síntese final (verificando axiomas de grupo):
- Fechamento: verdadeiro (Passo 2).
- Associatividade: verdadeira (Passos 3–5).
- Existência de identidade: verdadeiro, elemento identidade é
(Passo 6). - Existência de inversos para todos os elementos: falso (Passo 7), apenas
é invertível. - Portanto
não é um grupo porque a propriedade “todo elemento tem inverso” falha.
Resposta
a) A operação
é associativa.
b) não é um grupo (há identidade
, mas elementos
não têm inverso em
).
b)