Considere que o peso de um puma macho adulto é uma variável aleatória tem distribuição normal com média
veriância
. Sabe-se que
destes animais tem peso inferior a
e também que
tem peso superior a
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o peso de um puma macho adulto, que segue uma distribuição normal com média
e variância
. A gente sabe que:
- 33% dos pumas pesam menos que 82,8 kg.
- 0,4% dos pumas pesam mais que 98,25 kg.
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
. Para isso, vamos usar propriedades da distribuição normal e tabelas de valores z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa distribuição normal. Em uma distribuição normal, os valores estão distribuídos de forma simétrica em torno da média
. A variância
nos diz o quão espalhados os valores estão em relação à média.
Passo 3
Sabemos que 33% dos pumas pesam menos que 82,8 kg. Isso significa que 82,8 kg é o percentil 33 da distribuição. Para encontrar o valor z correspondente a esse percentil, podemos usar uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora.
Consultando a tabela, o valor z que corresponde a 33% é aproximadamente
.
Passo 4
Da mesma forma, sabemos que 0,4% dos pumas pesam mais que 98,25 kg. Isso quer dizer que 98,25 kg está no percentil 99,6 (já que 100% - 0,4% = 99,6%). Encontramos o z correspondente a 99,6%, que é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da distribuição normal:
Onde:
-
é o valor observado (82,8 kg ou 98,25 kg), -
é a média, -
é o valor z correspondente, -
é o desvio padrão (raiz quadrada da variância).
Temos duas equações com duas incógnitas:
- Para 82,8 kg:
- Para 98,25 kg:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, escrevemos as equações de forma simplificada:
Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Passo 8
Com o valor de
, podemos encontrar
usando uma das equações iniciais. Vamos usar a primeira:
Calculando:
Resposta
Portanto, a média
é aproximadamente 84,93 kg e a variância
é aproximadamente 23,44 kg².