Considere que o peso de um puma macho adulto é uma variável aleatória tem distribuição normal com média mu veriância sigma^2. Sabe-se que 33 % destes animais tem peso inferior a 82,8 kg e também que 0,4 % tem peso superior a 98,25 kg. Calcule mu e sigma^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o peso de um puma macho adulto, que segue uma distribuição normal com média mu e variância sigma^2. A gente sabe que:
  • 33% dos pumas pesam menos que 82,8 kg.
  • 0,4% dos pumas pesam mais que 98,25 kg.
Nosso objetivo é encontrar os valores de mu e sigma^2. Para isso, vamos usar propriedades da distribuição normal e tabelas de valores z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa distribuição normal. Em uma distribuição normal, os valores estão distribuídos de forma simétrica em torno da média mu. A variância sigma^2 nos diz o quão espalhados os valores estão em relação à média.

Passo 3

Sabemos que 33% dos pumas pesam menos que 82,8 kg. Isso significa que 82,8 kg é o percentil 33 da distribuição. Para encontrar o valor z correspondente a esse percentil, podemos usar uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora.
Consultando a tabela, o valor z que corresponde a 33% é aproximadamente z1 = -0,44.

Passo 4

Da mesma forma, sabemos que 0,4% dos pumas pesam mais que 98,25 kg. Isso quer dizer que 98,25 kg está no percentil 99,6 (já que 100% - 0,4% = 99,6%). Encontramos o z correspondente a 99,6%, que é aproximadamente z2 = 2,75.

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da distribuição normal:
X = mu + z sigma
Onde:
  • X é o valor observado (82,8 kg ou 98,25 kg),
  • mu é a média,
  • z é o valor z correspondente,
  • sigma é o desvio padrão (raiz quadrada da variância).
Temos duas equações com duas incógnitas:
  1. Para 82,8 kg:
82,8 = mu + (-0,44) sigma
  1. Para 98,25 kg:
98,25 = mu + (2,75) sigma

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, escrevemos as equações de forma simplificada:
  1. 82,8 = mu - 0,44 sigma
  2. 98,25 = mu + 2,75 sigma
Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar mu:
98,25 - 82,8 = (mu + 2,75 sigma) - (mu - 0,44 sigma)
Simplificando:
15,45 = 3,19 sigma

Passo 7

Agora, isolamos sigma:
sigma = 15,453,19 approx 4,843 kg

Passo 8

Com o valor de sigma, podemos encontrar mu usando uma das equações iniciais. Vamos usar a primeira:
82,8 = mu - 0,44 times 4,843
Calculando:
82,8 = mu - 2,133
mu = 82,8 + 2,133 approx 84,933 kg

Resposta

Portanto, a média mu é aproximadamente 84,93 kg e a variância sigma^2 é aproximadamente 23,44 kg².

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