Em um projeto de aprendizado de máquina, um conjunto de dados contendo 13 registros foi preparado para treinamento. No entanto, descobriu-se que cinco desses registros foram rotulados incorretamente como defeituosos (análogo às lâmpadas queimadas), enquanto os oito restantes estão corretamente rotulados como bons. Durante o processo de verificação dos dados, os registros são testados um por um para identificar os rotulados incorretamente, com o objetivo de encontrar dois registros defeituosos. Qual é a probabilidade de que o segundo registro defeituoso seja identificado exatamente na quinta iteração deste processo de verificação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um projeto de aprendizado de máquina onde temos 13 registros: 5 estão errados (defeituosos) e 8 estão certinhos (bons). A gente está testando esses registros um por um para achar os defeituosos. A pergunta é: qual a chance de a gente encontrar o segundo defeituoso exatamente na quinta tentativa? Vamos usar conhecimentos de probabilidade e combinar algumas ideias pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o segundo defeituoso na quinta tentativa. Isso quer dizer que, nas primeiras quatro tentativas, a gente deve ter encontrado exatamente um defeituoso e então, na quinta tentativa, encontrar o segundo defeituoso.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, vamos usar a probabilidade condicional e combinações. A ideia é:
  1. Nas primeiras quatro tentativas, encontrar exatamente 1 defeituoso e 3 bons.
  2. Na quinta tentativa, encontrar o segundo defeituoso.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de, nas primeiras quatro tentativas, encontrar exatamente 1 defeituoso:
  • Temos 5 defeituosos e 8 bons, totalizando 13 registros.
  • A quantidade de maneiras de escolher 1 defeituoso entre 5 é: P(1 defeituoso nas 4 primeiras) = binom51 times binom83binom134 .
  • A quantidade de maneiras de escolher 3 bons entre 8 é: .
  • A quantidade total de maneiras de escolher 4 registros entre 13 é: .
Então, a probabilidade de encontrar exatamente 1 defeituoso nas primeiras 4 tentativas é:

Passo 5

Agora, sabendo que já encontramos 1 defeituoso nas primeiras 4 tentativas, restam:
  • 4 defeituosos.
  • 8 bons.
  • Total de registros restantes: 13 - 4 = 9.
A probabilidade de encontrar o segundo defeituoso na quinta tentativa é a chance de tirar um defeituoso entre esses 9 registros:
P(defeituoso na 5ª tentativa) = 49 ª

Passo 6

Para encontrar a probabilidade total de ambos os eventos acontecerem (1 defeituoso nas primeiras 4 e o segundo defeituoso na quinta), multiplicamos as duas probabilidades calculadas:
P(total) = P(1 defeituoso nas 4 primeiras) times P(defeituoso na 5ª tentativa) ª
Substituindo os valores:
P(total) = ( binom51 times binom83binom134 ) times 49

Passo 7

Vamos calcular os valores das combinações:
binom51 = 5
binom83 = 8 times 7 times 63 times 2 times 1 = 56
binom134 = 13 times 12 times 11 times 104 times 3 times 2 times 1 = 715
Substituindo na fórmula:
P(total) = ( 5 times 56715 ) times 49 = ( 280715 ) times 49

Passo 8

Simplificando as frações:
280715 = 56143
56143 times 49 = 2241287

Resposta

A probabilidade de que o segundo registro defeituoso seja identificado exatamente na quinta iteração é , o que aproximadamente dá 17,39%.

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