Sabe-se que o saldo mensal final dos clientes de um certo banco é uma variável aleatória com distribuição normal com média de R e desvio padrão de e desvio padrão de . Selecionando-se aleatoriamente um desses clientes, determine:
(d) Os 250,00 dos clientes com maiores saldos no final do mês são denominad e recebem tratamento especial, equanto que aqueles com os 10 % menores no final do mesmo mês serão convidadosa mudar de banco. Quann cliente deve ter de saldo no final do mês para ele ser considerado um cliente VIP? Abaixo de qual saldo o cliente será convidado a mudar de banco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre os saldos finais mensais dos clientes de um banco, que seguem uma distribuição normal com média de R$ 2.000,00 e desvio padrão de R$ 250,00. Nosso objetivo é descobrir dois valores:
  1. Saldo mínimo para ser VIP (os 10% com maiores saldos).
  2. Saldo máximo para ser convidado a mudar de banco (os 5% com menores saldos).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição normal e percentis.

Passo 2

Primeiro, é importante entender que numa distribuição normal, os percentis nos dizem onde estão os valores em relação à média. O percentil 90 marca o ponto abaixo do qual estão 90% dos dados, ou seja, os 10% maiores ficam acima desse valor. Já o percentil 5 indica que 5% dos dados estão abaixo dele.

Passo 3

Vamos começar encontrando o saldo que separa os 10% mais ricos (para ser VIP). Precisamos achar o percentil 90 dessa distribuição normal.

Passo 4

Para encontrar o percentil 90, usamos a fórmula de padronização da distribuição normal:
z = X - musigma
Onde:
  • $ z $ é o valor padronizado.
  • $ X $ é o valor que queremos encontrar (saldo).
  • $ \mu $ é a média (R$ 2.000,00).
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (R$ 250,00).

Passo 5

Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, sabemos que o valor de $ z $ para o percentil 90 é aproximadamente 1,28.

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula para encontrar $ X $:
X
Então, o saldo mínimo para ser VIP é de R$ 2.320,00.

Passo 7

Agora, vamos achar o saldo abaixo do qual os clientes serão convidados a mudar de banco, ou seja, o percentil 5. O valor de $ z $ para o percentil 5 é aproximadamente -1,64.

Passo 8

Usamos a mesma fórmula para encontrar $ X $:
X
Então, o saldo máximo para ser convidado a mudar de banco é de R$ 1.590,00.

Resposta

Para ser considerado um cliente VIP, o saldo no final do mês deve ser de pelo menos R$ 2.320,00. Abaixo de R$ 1.590,00, o cliente será convidado a mudar de banco.

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