Sabe-se que o tempo de duração dos motores dos carros de uma certa marca têm distribuição normal com média de 150.000 km e desvio-padrão de 5.000 km . Qual a probabilidade de que um desses carros, escolhidos ao acaso, tenha um motor que dure:
(b) Entre 130.000 e 165.000 km .
(b) Entre 130.000 e 165.000 km .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a duração dos motores de carros que seguem uma distribuição normal. A média é de 150.000 km e o desvio-padrão é de 5.000 km. Queremos descobrir a probabilidade de, ao escolher um carro aleatoriamente, o motor dele durar entre 130.000 km e 165.000 km. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e calcular os chamados escores z.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar os valores de 130.000 km e 165.000 km em escores z. O escore z nos diz quantos desvios-padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula para calcular o z é:
onde:
- $ X $ é o valor que queremos transformar,
- $ \mu $ é a média,
- $ \sigma $ é o desvio-padrão.
Passo 3
Vamos calcular o escore z para 130.000 km:
Isso significa que 130.000 km está 4 desvios-padrão abaixo da média.
Passo 4
Agora, vamos calcular o escore z para 165.000 km:
Então, 165.000 km está 3 desvios-padrão acima da média.
Passo 5
Com os escores z calculados, queremos achar a probabilidade de o escore z estar entre -4 e 3. Em termos de distribuição normal, isso é:
Para encontrar essa probabilidade, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora.
Passo 6
Consultando a tabela ou usando uma calculadora:
- $ P(Z \leq 3) \approx 0,9987 $
- $ P(Z \leq -4) \approx 0,00003 $
Passo 7
Agora, subtraímos as duas probabilidades para encontrar a probabilidade de estar entre -4 e 3:
Resposta
A probabilidade de que um carro escolhido ao acaso tenha um motor que dure entre 130.000 km e 165.000 km é de aproximadamente 99,87%.