O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa verificou que os salários dos funcionários da área de produção são normalmente distribuídos. Uma amostra aleatória de 40 funcionários apresentou variância de 1.600. Determine um intervalo de confiança de
para a variância populacional.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um intervalo de confiança para a variância populacional:
- Amostra aleatória de tamanho
. - Variância amostral observada
. - Suposição: salários seguem distribuição normal.
- Nível de confiança desejado:
(ou seja, ).
O que se pede: determinar um intervalo de confiança de
para a variância populacional
.
Passo 2
Ferramenta teórica principal (explicada passo a passo):
- Se temos uma amostra de uma população normal, a estatística
segue uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. Aqui:
-
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é a variância amostral (aqui ). -
é a variância populacional desconhecida que queremos estimar. -
A distribuição
(qui-quadrado) aparece porque é a soma dos quadrados de variáveis normais padronizadas; é a base para construir intervalo para variância quando a população é normal. -
Em termos de probabilidades, para
e temos
Isso define o intervalo de confiança para
após manipular algebricamente.
Passo 3
Derivação algébrica do intervalo (mostrando cada passo):
Partimos de
Agora isolamos
. Invertendo as desigualdades (lembre: ao inverter multiplicações positivas, a direção mantém-se) e resolvendo para
:
Portanto o intervalo de confiança de
para
é
com
.
Passo 4
Aplicando os números do problema:
-
implica . -
então . - Precisamos dos quantis da qui-quadrado:
e . - Usando uma tabela de
ou uma calculadora estatística obtemos (valores aproximados):
.) - Usando uma tabela de
Passo 5
Cálculo numérico do intervalo para
:
- Primeiro calcule o numerador comum:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Logo um intervalo de confiança de
para a variância populacional é aproximadamente
Passo 6
Interpretação rápida e dica prática para a prova (didática, passo a passo):
- Interpretação: com confiança de
, o valor verdadeiro de (a variância dos salários na população) está entre aproximadamente e . Não significa que há de chance da variância estar ali dado que a variância é fixa; significa que se repetíssemos o procedimento muitas vezes, dos intervalos construídos conteriam . - Dica para prova: memorize a forma da estatística
e a fórmula do intervalo. Para obter quantis, use tabela de com e tome cuidado em usar no denominador do limite inferior (ordem contrária para os quantis). - Se quiser o intervalo para o desvio-padrão
, basta tirar raiz dos extremos: .