O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa verificou que os salários dos funcionários da área de produção são normalmente distribuídos. Uma amostra aleatória de 40 funcionários apresentou variância de 1.600. Determine um intervalo de confiança de 95 \% para a variância populacional.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um intervalo de confiança para a variância populacional:
  • Amostra aleatória de tamanho n=40.
  • Variância amostral observada s^{2}=1600.
  • Suposição: salários seguem distribuição normal.
  • Nível de confiança desejado: 95\% (ou seja, \alpha=0,05).
O que se pede: determinar um intervalo de confiança de 95\% para a variância populacional \sigma^{2}.

Passo 2

Ferramenta teórica principal (explicada passo a passo):
  • Se temos uma amostra de uma população normal, a estatística
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
segue uma distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Aqui:
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=40).
  • S^{2} é a variância amostral (aqui S^{2}=1600).
  • \sigma^{2} é a variância populacional desconhecida que queremos estimar.
  • A distribuição \chi^{2}_{\nu} (qui-quadrado) aparece porque é a soma dos quadrados de variáveis normais padronizadas; é a base para construir intervalo para variância quando a população é normal.
  • Em termos de probabilidades, para \alpha=0,05 e \nu=n-1 temos
P\!\left(\chi^{2}_{\alpha/2,\nu} \le \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \le \chi^{2}_{1-\alpha/2,\nu}\right)=1-\alpha.
Isso define o intervalo de confiança para \sigma^{2} após manipular algebricamente.

Passo 3

Derivação algébrica do intervalo (mostrando cada passo):
Partimos de
P\!\left(\chi^{2}_{\alpha/2,\nu} \le \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \le \chi^{2}_{1-\alpha/2,\nu}\right)=1-\alpha.
Agora isolamos \sigma^{2}. Invertendo as desigualdades (lembre: ao inverter multiplicações positivas, a direção mantém-se) e resolvendo para \sigma^{2}:
P\!\left(\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\nu}} \le \sigma^{2} \le \frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\nu}}\right)=1-\alpha.
Portanto o intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \sigma^{2} é
\left[\;\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\nu}}\;,\;\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\nu}}\;\right],
com \nu=n-1.

Passo 4

Aplicando os números do problema:
  • n=40 implica \nu=n-1=39.
  • \alpha=0,05 então \alpha/2=0,025.
  • Precisamos dos quantis da qui-quadrado: \chi^{2}_{0,025,39} e \chi^{2}_{0,975,39}.
    • Usando uma tabela de \chi^{2} ou uma calculadora estatística obtemos (valores aproximados): \chi^{2}_{0,025,39}\approx 23{,}63, \qquad \chi^{2}_{0,975,39}\approx 58{,}11.
    (Esses valores vêm da tabela de qui-quadrado para \nu=39.)

Passo 5

Cálculo numérico do intervalo para \sigma^{2}:
  • Primeiro calcule o numerador comum:
(n-1)S^{2}=39\cdot 1600 = 62400.
  • Limite inferior:
\frac{62400}{\chi^{2}_{0,975,39}} \approx \frac{62400}{58{,}11} \approx 1073{,}8.
  • Limite superior:
\frac{62400}{\chi^{2}_{0,025,39}} \approx \frac{62400}{23{,}63} \approx 2640{,}7.
Logo um intervalo de confiança de 95\% para a variância populacional é aproximadamente
\left[1073{,}8,\;2640{,}7\right].

Passo 6

Interpretação rápida e dica prática para a prova (didática, passo a passo):
  • Interpretação: com confiança de 95\%, o valor verdadeiro de \sigma^{2} (a variância dos salários na população) está entre aproximadamente 1073{,}8 e 2640{,}7. Não significa que há 95\% de chance da variância estar ali dado que a variância é fixa; significa que se repetíssemos o procedimento muitas vezes, 95\% dos intervalos construídos conteriam \sigma^{2}.
  • Dica para prova: memorize a forma da estatística \dfrac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{n-1} e a fórmula do intervalo. Para obter quantis, use tabela de \chi^{2} com \nu=n-1 e tome cuidado em usar \chi^{2}_{1-\alpha/2,\nu} no denominador do limite inferior (ordem contrária para os quantis).
  • Se quiser o intervalo para o desvio-padrão \sigma, basta tirar raiz dos extremos: \left[\sqrt{1073{,}8},\sqrt{2640{,}7}\right]\approx[32{,}8,\;51{,}4].

Resposta

\displaystyle \left[1073{,}8,\;2640{,}7\right]

Exercícios relacionados