Considere phix(t)=exp (4 t+2 t^2) e Y=-3 X+4. Encontre varnothingy(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem
phiX(t)=expl(4t+2t^2r)
e define phiY(t) =E[e^tY] =El[e^t(aX+b)r] =e^bt,phiX(at) . O assunto aqui é função geradora de momentos (FGM, também chamada de MGF). Para resolver, vamos usar a propriedade básica de transformações afins: se , então

Passo 2

Primeiro, relembra a definição de FGM:
phiX(t)=MX(t)=E[e^tX]
Quando a variável E[e^tY] =E[e^t(aX+b)] =e^bt,E[e^(at)X] =e^bt,phiX(at) sofre uma transformação linear , basta espalhar o exponencial:
Essa é a nossa “fórmula mágica”.

Passo 3

Aplicando com phiY(t) =e^4t,phiX(-3t) e phiX(-3t) =expl(4cdot(-3t)+2cdot(-3t)^2r) =expl(-12t+2cdot9t^2r) =expl(-12t+18t^2r) :
Já sabemos que , então basta trocar :

Passo 4

Agora junta tudo:
phiY(t) =e^4ttimes e^-12t+18t^2 =expl(4t-12t+18t^2r) =expl(-8t+18t^2r)

Resposta

boxedphiY(t)=expl(-8t+18t^2r)

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