Considere a pirâmide regular cuja base é um quadrado e a razão entre o perimetro da base e a altura é 2 pi. Diga qual é o cosseno dos angulos das faces laterais dessa pirâmide. (2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pirâmide regular com base quadrada. Sabemos que a razão entre o perímetro da base e a altura é 2pi. Nosso objetivo é encontrar o cosseno dos ângulos das faces laterais dessa pirâmide. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria envolvendo pirâmides e trigonometria, especialmente o cosseno de ângulos em triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a pirâmide ser regular com base quadrada. Isso quer dizer que a base da pirâmide é um quadrado, e as faces laterais são triângulos isósceles iguais.

Passo 3

Vamos calcular o perímetro da base. Como a base é um quadrado, se cada lado tem comprimento L, o perímetro P será:
P = 4L

Passo 4

A razão entre o perímetro da base e a altura h da pirâmide é 2pi. Então, podemos escrever:
Ph = 2pi
Substituindo P por 4L, temos:
4Lh = 2pi

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre L e h:
4Lh = 2pi implies L = 2pi h4 = pi h2

Passo 6

Agora, vamos analisar uma das faces laterais da pirâmide. Essa face é um triângulo isósceles com base L e altura a mesma altura da pirâmide h.

Passo 7

Para encontrar o cosseno do ângulo da face lateral, precisamos considerar o triângulo formado pela altura da pirâmide, metade da base da face lateral e a aresta da pirâmide. O ângulo que queremos é entre a altura da pirâmide e a aresta.

Passo 8

A metade da base da face lateral é L2. Usando o valor que encontramos para L, temos:
L2 = pi h4

Passo 9

Usando a definição do cosseno em um triângulo retângulo:
cos(theta) = adjacentehipotenusa
Aqui, o adjacente é a altura h, e a hipotenusa é a aresta da pirâmide, que podemos chamar de s.

Passo 10

Para encontrar s, usamos o teorema de Pitágoras no triângulo formado por h, L2 e s:
s = raizh^2 + (L2)^2 = raizh^2 + (pi h4)^2 = raizh^2 + pi^2 h^216 = h raiz1 + pi^216

Passo 11

Agora, voltando à definição do cosseno:
cos(theta) = hh raiz1 + pi^216 = 1raiz1 + pi^216

Passo 12

Simplificando a expressão:
cos(theta) = 1raiz16 + pi^216 = 1raiz16 + pi^24 = 4raiz16 + pi^2

Resposta

O cosseno dos ângulos das faces laterais da pirâmide é 4raiz16 + pi^2.

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