Considere a pirâmide regular cuja base é um quadrado e a razão entre o perimetro da base e a altura é
. Diga qual é o cosseno dos angulos das faces laterais dessa pirâmide. (2 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pirâmide regular com base quadrada. Sabemos que a razão entre o perímetro da base e a altura é
. Nosso objetivo é encontrar o cosseno dos ângulos das faces laterais dessa pirâmide. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria envolvendo pirâmides e trigonometria, especialmente o cosseno de ângulos em triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a pirâmide ser regular com base quadrada. Isso quer dizer que a base da pirâmide é um quadrado, e as faces laterais são triângulos isósceles iguais.
Passo 3
Vamos calcular o perímetro da base. Como a base é um quadrado, se cada lado tem comprimento
, o perímetro
será:
Passo 4
A razão entre o perímetro da base e a altura
da pirâmide é
. Então, podemos escrever:
Substituindo
por
, temos:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 6
Agora, vamos analisar uma das faces laterais da pirâmide. Essa face é um triângulo isósceles com base
e altura a mesma altura da pirâmide
.
Passo 7
Para encontrar o cosseno do ângulo da face lateral, precisamos considerar o triângulo formado pela altura da pirâmide, metade da base da face lateral e a aresta da pirâmide. O ângulo que queremos é entre a altura da pirâmide e a aresta.
Passo 8
A metade da base da face lateral é
. Usando o valor que encontramos para
, temos:
Passo 9
Usando a definição do cosseno em um triângulo retângulo:
Aqui, o adjacente é a altura
, e a hipotenusa é a aresta da pirâmide, que podemos chamar de
.
Passo 10
Para encontrar
, usamos o teorema de Pitágoras no triângulo formado por
,
e
:
Passo 11
Agora, voltando à definição do cosseno:
Passo 12
Simplificando a expressão:
Resposta
O cosseno dos ângulos das faces laterais da pirâmide é
.