Determinar se o subconjunto dado
do espaço vetorial
é um subespaço.
;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
,
isto é, o conjunto de todas as matrizes sobre um corpo (por exemplo
ou
), com a soma e multiplicação por escalar usuais.
O subconjunto considerado é
isto é, o conjunto de todas as matrizes
O subconjunto considerado é
isto é, todas as matrizes
tais que
Para mostrar que
é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
-
(containha o vetor zero). - Fechamento sob adição.
- Fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que a matriz zero
cujo
-ésimo elemento é
para todo
pertence a
.
Como em todos os elementos abaixo da diagonal principal também são zero, temos que
é triangular superior por definição.
Logo, não está vazio.
Como em
Logo,
Passo 3
Sejam
e
duas matrizes em
.
Por definição, para todo vale
Por definição, para todo
Considere a soma
. Seu
-ésimo elemento é
Para
isso dá
portanto
também satisfaz a condição de triangularidade superior.
Isto prova o fechamento de sob adição.
Isto prova o fechamento de
Passo 4
Agora seja
um escalar arbitrário e
.
O produto escalar tem
-ésimo elemento
O produto escalar
Para
, como
, segue
logo
também é triangular superior.
Isso mostra o fechamento de sob multiplicação por escalar.
Isso mostra o fechamento de
Resposta
Sim.
é subespaço de
.