Determinar se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço.
V=Mm n;
H=T in Mm n mid T é triangular superior é

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = Mm n,
isto é, o conjunto de todas as matrizes mtimes n sobre um corpo (por exemplo R ou C), com a soma e multiplicação por escalar usuais.
O subconjunto considerado é
H = ,Tin Mm n mid T é triangular superior, é
isto é, todas as matrizes T=(tij) tais que
tij = 0 sempre que i>j
Para mostrar que H é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
  1. Hneqvarnothing (containha o vetor zero).
  2. Fechamento sob adição.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que a matriz zero
0m n cujo (i,j)-ésimo elemento é 0 para todo i,j pertence a H.
Como em 0m n todos os elementos abaixo da diagonal principal também são zero, temos que 0m n é triangular superior por definição.
Logo, H não está vazio.

Passo 3

Sejam A=(aij) e B=(bij) duas matrizes em H.
Por definição, para todo i>j vale
aij=0 e bij=0
Considere a soma A+B. Seu (i,j)-ésimo elemento é
(a+b)ij = aij + bij
Para i>j isso dá
(a+b)ij = 0 + 0 = 0,
portanto A+B também satisfaz a condição de triangularidade superior.
Isto prova o fechamento de H sob adição.

Passo 4

Agora seja lambda um escalar arbitrário e A=(aij)in H.
O produto escalar lambda A tem (i,j)-ésimo elemento
(lambda A)ij = lambda,aij
Para i>j, como aij=0, segue
(lambda A)ij = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda A também é triangular superior.
Isso mostra o fechamento de H sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim. H é subespaço de V.

Exercícios relacionados