Considere em P2(R) o produto interno abaixo
lang<= a1+b1 t+c1 t^2, a2+b2 t+c2 t^2rang<==a1 a2+b1 b2+c1 c2
Mostre que o operador T: P2(R) P2(R) definido por
T(a+b t+c t^2)=(-2 a+3 c)+(-5 b) t+(3 a+2 c) t^2
é auto-adjunto.

Passo 1

O enunciado define em P2(R) o produto interno
lang<= a1+b1t+c1t^2,,a2+b2t+c2t^2rang<= = a1a2 + b1b2 + c1c2
e o operador linear
T(a + b t + c t^2) = (-2a + 3c) + (-5b),t + (3a + 2c),t^2
Queremos mostrar que T é auto-adjunto, isto é,
lang<= T(p),,qrang<= = lang<= p,,T(q)rang<= para todo p,qin P2(R)
Para isso, vamos explorar que a base canônica 1,t,t^2 é ortonormal para este produto interno e, em seguida, obter a matriz de T nessa base.

Passo 2

Como
lang<= 1,,1rang<= = 1, lang<= t,,trang<= = 1, lang<= t^2,,t^2rang<= = 1,
e produtos mistos são zero, a base 1,t,t^2 é ortonormal. Logo, a matriz de T nessa base tem entradas
Mij = lang<= T(ej),,eirang<=,
onde e1=1, e2=t, e3=t^2.

Passo 3

Calculamos T em cada vetor da base e expressamos em coordenadas na mesma base:
T(1)=T(1+0,t+0,t^2) = -2 + 0,t + 3,t^2 ;Longrightarrow; coluna 1 = -203,
T(t)=T(0+1,t+0,t^2) = 0 + (-5),t + 0,t^2 ;Longrightarrow; coluna 2 = 0-50,
T(t^2)=T(0+0,t+1,t^2) = 3 + 0,t + 2,t^2 ;Longrightarrow; coluna 3 = 302

Passo 4

Assim a matriz de T na base 1,t,t^2 é
M = -2 & 0 & 3 0 & -5 & 0 3 & 0 & 2
Observamos que M é simétrica, pois Mij=Mji para todos i,j.

Passo 5

Num espaço com base ortonormal, T é auto-adjunto se, e somente se, sua matriz na base for simétrica. Como M é simétrica, concluímos que
lang<= T(p),qrang<= = lang<= p,T(q)rang<=
para todo p,qin P2(R).

Resposta

T é auto-adjunto.

Exercícios relacionados