Considere em
o produto interno abaixo
Mostre que o operador
definido por
é auto-adjunto.
Passo 1
O enunciado define em
o produto interno
e o operador linear
Queremos mostrar que
é auto-adjunto, isto é,
Para isso, vamos explorar que a base canônica
é ortonormal para este produto interno e, em seguida, obter a matriz de
nessa base.
Passo 2
Como
e produtos mistos são zero, a base
é ortonormal. Logo, a matriz de
nessa base tem entradas
onde
,
,
.
Passo 3
Calculamos
em cada vetor da base e expressamos em coordenadas na mesma base:
Passo 4
Assim a matriz de
T na base
1,t,t^2 é
Observamos que
M é simétrica, pois
Mij=Mji para todos
i,j .
Passo 5
Num espaço com base ortonormal,
T é auto-adjunto se, e somente se, sua matriz na base for simétrica. Como
M é simétrica, concluímos que
para todo
p,qin P2(R) .